新人教版九年级数学第二十二章二次函数知识点总结

知识要点： 十、直线与抛物线的交点

1、y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c)。

3、抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两个实数根。抛物线与x轴的交点情况可以由对应的 一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离。 4、平行于x轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐

标为k，则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根。

5、一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图像G的交点，

2222、与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c)。

?y?kx?n由方程组 ?的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l与G2?y?ax?bx?c有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点。

6、抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为

A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故：

bcx1?x2??,x1?x2?

aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?2b2?4ac??b?4c?4x1x2???????

aaa?a?2十一、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况 1、关于x轴对称

y?ax2?bx?c关于x轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；

y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k； 2、关于y轴对称

y?ax2?bx?c关于y轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；

22y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k； 3、关于原点对称

y?ax2?bx?c关于原点对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；

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22y?a?x?h??k关于原点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k； 4、关于顶点对称

22b2 y?ax?bx?c关于顶点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c?；

2a22y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k。

22 5、关于点?m，n?对称

n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m， 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此

22a永远不变。求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。

十二、二次函数图象的平移

1、平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?； ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k2向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k

2、平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”。 概括成八个字“左加右减，上加下减”。

十三、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路

1、三点式。

（1）已知抛物线y=ax+bx+c 经过A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三点，求抛物线的

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解析式。

（2）已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。 2、顶点式。

（1）已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。 （2）已知抛物线 y=4(x+a)-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 3、交点式。

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（1）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 （2）已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=4、定点式。

（1）在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y??1a(x-2a)(x-b)的解析式。 2125?ax?x?2a?2经过x 轴上一定 22 点Q，直线y?(a?2)x?2经过点Q,求抛物线的解析式。

（2）抛物线y= x +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 （3）抛物线y=ax+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。 5、平移式。

（1）把抛物线y= -2x 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h) +k,求此抛物线解析式。

（2）抛物线y??x?x?3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 6、距离式。

（1）抛物线y=ax+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 （2）已知抛物线y=m x+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此 抛物线的解析式。 7、对称轴式。

（1）抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离 的2倍，求抛物线的解析式。

（2）已知抛物线y=-x+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且 OB-OA=

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23OC，求此抛物线的解析式。 48、 对称式。

（1）平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E， 将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。 （2）求与抛物线y=x+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。 9、切点式。

（1）已知直线y=ax-a(a≠0) 与抛物线y=mx 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 （2）直线y=x+a 与抛物线y=ax +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。 10、判别式式。

（1）已知关于X的一元二次方程（m+1）x+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线 y=-x+(m+1)x+3解析式。

（2）已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。 （3）已知抛物线y=(m+1)x+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

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