第一章 随机事件和概率

（1）排列组 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 合公式 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种（2）加法和方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序）

（3）一些常

对立事件（至少有一个）

见排列

顺序问题

（4）随机试如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在验和随机事进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 件 试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下

性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

（5）基本事这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 件、样本空间基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 和事件

一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。

为必然事件，?为不可能事件。

不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

（6）事件的

关系与运算 如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示

为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ， 设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 （7）概率的公理化定义 3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有 常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件 的概率。 1° ， 2° 。 （8）古典概设任一事件 ，它是由 组成的，则有 型 P(A)= = 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中（9）几何概的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， 型 。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 （10）加法公P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 式 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法公P(A-B)=P(A)-P(AB) 式 当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P( )=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。 （12）条件概率 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) 乘法公式： （13）乘法公更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 式 … …… … 。 ①两个事件的独立性 设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。 若事件 、 相互独立，且 ，则有 若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。 必然事件 和不可能事件?与任何事件都相互独立。 （14）独立性 ?与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件 满足 1° 两两互不相容， ， （15）全概公2° ， 式 则有 。 设事件 ， ，…， 及 满足 （16）贝叶斯1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ， 公式 2° ， ， 则 ，i=1，2，…n。 此公式即为贝叶斯公式。 ，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 我们作了 次试验，且满足 u 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生； u 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样； u 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不（17）伯努利影响的。 概型 这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。 用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率， ， 。 第二章 随机变量及其分布 （1）离散型设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件随机变量的(X=Xk)的概率为 分布律 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 。 显然分布律应满足下列条件： （1） ， ， （2） 。 （2）连续型设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有 随机变量的， 分布密度 则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1° 。 2° 。 （3）离散与 连续型随机积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起变量的关系 的作用相类似。 （4）分布函设 为随机变量， 是任意实数，则函数 数 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° ； 2° 是单调不减的函数，即 时，有 ； 3° ， ； 4° ，即 是右连续的； 5° 。 对于离散型随机变量， ； 对于连续型随机变量， 。 （5）八大分0-1分布 布 二项分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。 ， 其中 ， 则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。 当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量 的分布律为 ， ， ， 则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 超几何分布 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布 ，其中p≥0，q=1-p。