概率论与数理统计（理工类）作业集 周钢 编写

§4.4 矩、协方差矩阵

1.设随机变量X在区间(a,b)上服从均匀分布，求k阶原点矩和三阶中心矩。

2. 已知随机变量X~N(1,9),Y~N(0,16),且X与Y的相关系数为?XY?0.5.（1）求随机变量

Z?

XY（2）求随机变量X与Z的相关系数?XZ。 ?的数学期望和方差 ；

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§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理

1. 设供电网有1000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比

雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

2. 利用中心极限定理确定当投掷一枚均匀硬币时，需投掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4到

0.6之间的概率不小于90%。

3. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，

它取1元, 1.2元, 1.5元各值的概率分别为0.3, 0.2, 0.5，若售出300只蛋糕，求收入至少为400元的概率。

4. 由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90% ，为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率。

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第六章 样本及抽样分布

一、填空题

（1）设X1,?,X6为总体X~N(0,1)的一个样本，Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，且cY服从?分布，则c? 。

（2）设X1,?,X7为总体X~N(0,0.5)的一个样本，则P(22?Xi?172i?4)? 。

22X12?X2???X10~ 。 （3）已知X1,?,X15是取自N(0,?)的样本，则Y?2222(X11?X12???X15)2

1n22二、设X1，?，Xn是来自正态总体N(?,?) 的样本,试求样本方差S??(Xi?X)的数学期

n?1i?1望及方差。

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§7.1 点估计 §7.3 估计量的评选标准

一、设总体X具有分布律 ：

X 1 2 3 p 估计值。

?2 2?(1??) (1??)2 ，x2?2，x3?1. 试求?的矩估计值和极大似然其中?(0???1)为未知参数，已知取得了样本值x1?1二、设总体X服从正态分布N(0,1)，X1,X2是从此总体中抽取的一个样本．试验证下面三个估计量：

?1? （1）?211311?2?X1?X2， （3）??3?X1?X2都是?的无偏估计，并X1?X2， （2）?334422指出哪一个估计量最有效。

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三、 设总体X的概率密度为

?(??1)x?, f(x)???0,0?x?1,其它.，

X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量。

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