2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(Ⅱ)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
3?i?（ ） 1?iA．1?2i B．1?2i C．2?i D．2?i
1.
2.设集合???1,2,4?，??xx?4x?m?0．若?I???1?，则??（ ）
2??A．?1,?3? B．?1,0? C．?1,3? D．?1,5?
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A．90? B．63? C．42? D．36?
?2x?3y?3?0?5.设x，y满足约束条件?2x?3y?3?0，则z?2x?y的最小值是（ ）
?y?3?0?A．?15 B．?9 C．1 D．9
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的a??1，则输出的S?（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
开始输入aS=0,K=1K≤6是S=S+a?Ka=aK=K+1否x2y229.若双曲线C:2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线被圆?x?2??y2?4所截
ab得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．
1
23 3输出S结束10.已知直三棱柱??C??1?1C1中，???C?120o，???2，?C?CC1?1，则异面直线??1与?C1所成角的余弦值为（ ） A．
331510 B． C． D． 23552x?1`11.若x??2是函数f(x)?(x?ax?1)e的极值点，则f(x)的极小值为（ ）
A.?1 B.?2e?3 C.5e?3 D.1
uuuruuuruuurPA?(PB?PC)的最小值是（ ） 12.已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
A.?2 B.?34 C. ? D.?1 23
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，?表示抽到的二等品件数，则D?? ． 14.函数f?x??sin2x?3cosx?3???（x??0,?）的最大值是 ． 4?2?15.等差数列?an?的前n项和为Sn，a3?3，S4?10，则
21? ． ?k?1Skn16.已知F是抛物线C:y?8x的焦点，若?为F?的中点，F?的延长线交y轴于点?．?是C上一点，则F?? ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17.（12分）?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sin(A?C)?8sin2(1)求cosB；
(2)若a?c?6 , ?ABC面积为2,求b.
18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：
B． 22
频率组距0.068频率组距0.0400.0340.0320.0460.0440.0240.0200.0140.0120.0200.0100.0080.004O25303540455055606570箱产量/kgO3540455055606570箱产量/kg旧养殖法
新养殖法
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的
箱产量不低于50kg”,估计A的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P（????≥??） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 k 2n(ad?bc)2K?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，
AB?BC?1AD,?BAD??ABC?90o, E是PD的中点. 2P（1）证明：直线CE// 平面PAB
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o ，求二面角M-AB-D的余弦值
3
AMEDBCx2?y2?1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满20. （12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2uuuruuuur足NP?2NM.
(1) 求点P的轨迹方程；
uuuruuur(2) 设点Q在直线x=-3上，且OP?PQ?1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.（12分）已知函数f(x)?ax?ax?xlnx,且f(x)?0. （1）求a；
（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e?22?f(x0)?2?2.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为
?cos??4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为(2,?3)，点B在曲线C2上，求?OAB面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a?0,b?0,a?b?2，证明： （1）(a?b)(a?b)?4； （2）a?b?2．
4
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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(Ⅱ)试题答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 三、解答题 17.解：
（1）由题设及A?B?C??得sinB?8sin2 sinB?（41-cosB）上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0 解得 cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=2n 16. 6 n?1?2，故
15 1715814得sinB?，故S?ABC?acsinB?ac 171721717又S?ABC=2，则ac?
2由余弦定理及a?c?6得
b2?a2?c2?2accosB2?（a+c）?2ac(1?cosB)1715?36?2??(1?)217?4所以b=2 18.解：
（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg” ，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg” 由题意知 P?A??P?BC??P?B?P?C? 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
（0.040?0.034?0.024?0.014?0.012）?5=0.62
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