●-------------------------题--------------答------------ -_-__要_--_-_--_-_--_-_--：---号不考---_-_--_-_--_-_--_--_ _请_-：---级---班---_-_--_-__内_--_-_--_--_-：---名---姓线--------------封--------------密-------------------------●2018年北京高三模拟题分类汇编之导数大题
精心校对版
题号 一 二 总分 得分 △注意事项：
1.本系列试题包含2018北京市各城区一模二模真题。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本
4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 i. 、填空题（本大题共1小题，共0分） 1.（2018北京东城区高三一模数学(文)）
已知函数f(x)?xsinx?acosx?x，a?R.
（Ⅰ）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）当a=2时，求f(x)在区间[0,?2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当a?2时，若方程f(x)?3?0在区间[0,?2]上有唯一解，求a的取值范围. 【答案解析】
解：（Ⅰ）当a??1时，f(x)?xsinx?cosx?x， 所以f'(x)?2sinx?xcosx?1，f'(0)?1. 又因为f(0)??1，
所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?x?1. ………4分 （Ⅱ）当a?2时，f(x)?xsinx?2cosx?x， 所以f'(x)??sinx?xcosx?1．
当x?(0,?2)时，1?sinx?0，xcosx?0， 所以f'(x)?0.
所以f(x)在区间[0,?2]上单调递增．
因此f(x)在区间[0,]上的最大值为f()??，最小值为f(0)?2.………8分 （Ⅲ）当a?2时，f'(x)?(1?a)sinx?xcosx?1. 设h(x)?(1?a)sinx?xcosx?1，
?2?2h'(x)?(2?a)cosx?xsinx，
因为a?2，x?[0,], 所以h'(x)?0.
所以h(x)在区间[0,]上单调递减．
因为h(0)?1?0，h()?1?a?1?2?a?0，
所以存在唯一的x0?[0,]，使h(x0)?0，即f'(x0)?0. 所以f(x)在区间[0,x0]上单调递增，在区间[x0，]上单调递减． 因为f(0)=a，f()??，
又因为方程f(x)?3?0在区间[0,]上有唯一解，
所以2?a?3. ………13分 ii. 、解答题（本大题共10小题，共0分） 2.（2018北京东城区高三二模数学(文)）
设函数f(x)?2lnx?x?ax?2.
（Ⅰ）当a?3时，求f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）若直线y??x?1是曲线y?f(x)的切线，求a的值.
【答案解析】
解：f(x)的定义域为(0,??)． ………1分 （Ⅰ）当a?3时，f(x)?2lnx?x?3x?2，
22?2?2?2?2?2?2?22?2x2?3x?2所以f'(x)??2x?3?.
xx?2x2?3x?2?0，得?2x2?3x?2?0， 令f'(x)?x因为x?0，所以x?2. f(x)与f'(x)在区间(0,??)上的变化情况如下：
x (0，2) ? 2 0 (2，+?) f'(x) f(x)
? 2ln2?4 ??). 所以f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间(2，f(x)有极大值2ln2?4，f(x)无极小值. …………6分
（Ⅱ）因为f(x)?2lnx?x?ax?2， 所以f'(x)?22?2x?a. x 设直线y??x?1与曲线y?f(x)的切点为（x0,f(x0)），
2?2x0?ax0?222?(a?1)x0?2?0. 所以f'(x0)??2x0?a???1，即2x0x0x02 又因为f(x0)?2lnx0?x0?ax0?2??x0?1， 2即2lnx0?x0?(a?1)x0?1?0
2所以2lnx0?x0?1?0.
设g(x)?2lnx?x?1，
22(1?x2)?0(x?0)， 因为g'(x)?x 所以g(x)在区间(0,??)上单调递增.
所以g(x)在区间(0,??)上有且只有唯一的零点. 所以g(1)?0，即x0?1.
所以a??1. …………13分 3.（2018北京西城区高三一模数学(文)）
x已知函数f(x)?e?(a?lnx)，其中a?R．
（Ⅰ）若曲线y?f(x)在x?1处的切线与直线y??x垂直，求a的值； e（Ⅱ）记f(x)的导函数为g(x)．当a?(0,ln2)时，证明：且f(x0)?0． g(x)存在极小值点x0，