第9讲 消元法在解题中的应用

[方法精要] 在一些较复杂的题目中，若含有两个或两个以上的未知数时，为了保证先求出其中的一种数量，往往要通过对某些数量的比较，设法先消去一个或几个未知量，从而把一道数量关系复杂的题目变成简单的题目解出来，这种解题方法就是消元法． 用消元法解题时注意以下几点：

1．把条件写成几个等式，并排列在一起进行比较，如果有一种量的数相同，就很容易把这种量消去．

2．如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边，使其中的一个量的数相同然后消去这个量．

3．解答后，可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算，检验是否符合题意．

题型一 消元法在平面向量中的应用

→→→→→

例1 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，且2a＝b，c＝b＋d,2e＝3b＋4d，求证：点C是线段AE的中点．

1

破题切入点 本题涉及到的向量比较多，观察结论，根据结论的要求，只需证明c＝2(a＋e)，因此，只要不断消元，即可得到向量c，a，e的关系． 证明 因为2a＝b，c＝b＋d，

所以b＝2a，d＝c－2a，代入2e＝3b＋4d， 可得2e＝3×2a＋4×(c－2a)， 1

整理得c＝2(a＋e)，

所以点C是线段AE的中点．

题型二 消元法在解析几何中的应用

x2y2x

例2 已知双曲线a2－b2＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，离心率为e，若点(－1,0)与(1,0)到直线a－y4＝1的距离之和S≥b5c，则e的取值范围是________．

破题切入点 根据已知的不等式找a，c所满足的不等式，转化为关于离心率e的不等式，通过这个不等式解得双曲线的离心率的范围． 5

答案 [2，5]

|－b－ab||b－ab|2ab4

解析 ∵S＝＋＝c≥5c，

a2＋b2a2＋b2

∴2c2≤5ab，即4c4≤25a2(c2－a2)， 即4c4－25a2c2＋25a4≤0， 即4e4－25e2＋25≤0， 55

解得4≤e2≤5，即2≤e≤5.

总结提高 消元思想是中学数学的重要思想方法之一，它既可以显性的表现为具体的技能，如降幂、减少变量的个数等，又指导着思维的方向，如对题设或结论的简化意识等，在解题

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的动态思维过程中，如能紧扣消元的数学思想，重视消元法的应用，就会尝到柳暗花明又一村带来的乐趣．

1．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)的值为________． 15答案 4

解析 因为f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2， 则f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2， 联立可得g(x)＝2，

又因为g(2)＝a，故a＝2.

因为f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，g(2)＝a， 15

则f(2)＝a2－a－2＋2－a＝22－2－2＋2－2＝4.

10

2．(2013·浙江改编)已知α∈R，sin α＋2cos α＝2，则tan 2α的值为________． 3答案 －4 10

解析 因为sin α＋2cos α＝2， 又sin2α＋cos2α＝1， 10

?sin α＝－?10，

联立解得?

310

cos α＝??10，

310

?sin α＝?10，或?

10

cos α＝??10，

sin α1sin α

故tan α＝cos α＝－3，或tan α＝cos α＝3， 2tan α3

代入可得tan 2α＝＝＝－14， 1－tan2α

1－?－3?22tan α2×33

或tan 2α＝＝＝－4. 1－tan2α1－32

y≥x，??

3．设m>1，在约束条件?y≤mx，下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围

??x＋y≤1为________． 答案 (1,1＋2)

解析 画出可行域，

??y＝x，

或分别解方程组?

?y＝mx，?

1

2×?－3?

??y＝x，?

?x＋y＝1，?

??y＝mx，

? ?x＋y＝1?

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111m1m

得到三个区域端点(0,0)，(2，2)，(，)，当且仅当直线z＝x＋my过点(，)m＋1m＋1m＋1m＋1m2＋1

时，z取到最大值z＝<2，解得m∈(1,1＋2)．

m＋1

x2y21

4．若椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率e＝2，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为________． 答案

2

c1

解析 因为e＝a＝2，所以a＝2c， b3

由a2＝b2＋c2，得a＝2，

2bc1

x1＋x2＝－a＝－3，x1·x2＝a＝2，

点P(x1，x2)到原点(0,0)的距离d＝x21＋x22＝?x1＋x2?2－2x1x2＝2.

5．过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为________． 答案 16

解析 抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长AB＝2|x1－x2|＝16.

PF

6．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则PA的最小值是________． 2

答案 2

解析 由题意知x≥0，则焦点F(1,0)，PF＝x＋1，PA＝?x＋1?2＋y2 ＝?x＋1?2＋4x，当x＝0PAPA4x4x时，＝1；当x>0时，1<＝ 1＋≤ 1＋＝2(当且仅当x＝1时取等号)．因PFPF?x＋1?2?2x?2PA2PFPF2此当x≥0时，1≤PF≤2，2≤PA≤1，PA的最小值是2. x2y2

7．已知双曲线：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1k2的值为________． 答案 3

c

解析 由题意知e＝a＝2，则b2＝3a2，

双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A(m，n)，M(x，y)， y－ny＋ny2－n2

则B(－m，－n)，k1k2＝·＝ x－mx＋mx2－m2＝

3x2－3a2－3m2＋3a2

x2－m2

＝3.

8．已知圆C1 ：x2＋y2－2x－2y－2＝0和圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0，则过两圆交点的公

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共弦所在直线方程为________． 答案 2x＋2y－1＝0

解析 联立两圆的方程，消去二次项即得公共弦所在直线的方程2x＋2y－1＝0. 11

9．设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋y2)(x2＋4y2)的最小值为________． 答案 9

111

解析 (x2＋y2)(x2＋4y2)＝5＋x2y2＋4x2y2≥5＋2成立．

→→→→

10．设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，m，n，p，q是不同时为零的实数，如果ma＋nb＋pc＋qd＝0，且(m＋n)2＋(p＋q)2＝0. 求证：A，B，C，D共线或AB∥CD.

证明 因为(m＋n)2＋(p＋q)2＝0，m，n，p，q是不同时为零的实数， ∴m＝－n，p＝－q，

代入ma＋nb＋pc＋qd＝0得n(b－a)＝－q(d－c) →→∴nAB＝qCD，

∵n≠0，(否则m，p，q均为零)， →q→∴AB＝nCD， →→∴AB∥CD，

即A，B，C，D共线或AB∥CD.

11·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝x2y22时等号

11.如图，已知抛物线C：y2＝－2px(p>0)上横坐标为－3的一点，与其焦点的距离为4. (1)求p的值；

(2)设动直线y＝x＋b(b>3)与抛物线C相交于A、B两点，问在直线l：y＝2上是否存在与b的取值无关的定点M，使得∠AMB被直线l平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

p

解 (1)由已知得|－3－2|＝4，∵p>0，∴p＝2. (2)令A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设存在点M(a,2)满足条件， 由已知得kAM＝－kBM，

y1－2y2－2y21y22即有＋＝0，x1＝－4，x2＝－4；

x1－ax2－a整理得y1y2(y1＋y2)＋4a(y1＋y2)－2(y21＋y22)－16a＝0；

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??y＝x＋b，由? ?y2＝－4x?

得y2＋4y－4b＝0，

即y1＋y2＝－4，y1y2＝－4b， 则－4b·(－4)＋4a(－4)－2[(－4)2＋8b]－16a＝0， ∴a＝－1，

因此存在点M(－1,2)，而当b>3时线段AB在点M(－1，2)的左上方，满足题意． 13

12．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为2，且经过点M(1，2)． (1)求椭圆C的方程；

→→→

(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足PA·PB＝PM2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由． x2y2

解 (1)设椭圆C的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，

?由题意得?c1

a＝2，?a2＝b2＋c2，

解得a2＝4，b2＝3.

19＋a24b2＝1，

x2y2

故椭圆C的方程为4＋3＝1.

(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，

设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得， (3＋4k21)x2－8k1(2k1－1)x＋16k21－16k1－8＝0. 因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B， 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k21)·(16k21－16k1－8)＝32(6k1＋3)>0， 1所以k1>－2. 8k1?2k1－1?

又x1＋x2＝，

3＋4k2116k21－16k1－8

x1x2＝，

3＋4k21→→→

因为PA·PB＝PM2，

5即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝4， 5→

所以(x1－2)(x2－2)(1＋k21)＝PM2＝4. - 5 -