2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1.设当x?0时，函数f(x)?x?sinx与g(x)?axn是等价无穷小，则常数a,n的值为 ( ) A. a?1111,n?3 B. a?,n?3 C. a?,n?4 D. a?,n?4 63126曲

线

2.

x2?3x?4y?2x?5x?6的渐近线共有

( )

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3.设函数?(x?)( )

x2x2x2A. 2xecosx B. ?2xecosx C. ?2xecosx D. ?ecosx

22?22txe则函数?(x)的导数??(x)等于 cot，sdtx24.下

( )

?列级数收敛的是

???n21?(?1)nn2n?1A. ? B. ?2 C. ? D. ?n

n?1n?nnn?1n?1n?12n?15.二次积分

?dy?01y?11f(x,y)dx交换积分次序后得

( ) A. C. 6.

??102dx?x?11x?1f(x,y)dy B. ?dx?1212x?101f(x,y)dy f(x,y)dy

区

间

1dx?1f(x,y)dy D. ?dx?x?1设

f(x)?x3?3x，则在

(0,1)内

( )

A. 函数f(x)单调增加且其图形是凹的 B. 函数f(x)单调增加且其图形是凸的 C. 函数f(x)单调减少且其图形是凹的 D. 函数f(x)单调减少且其图形是凸的 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7. lim(x??x?1x)? x?1x?08. 若f?(0)?1，则limf(x)?f(?x)?

xx3?1dx的值为 9. 定积分?2?1x?11????10. 设a?(1,2,3),b?(2,5,k)，若a与b垂直，则常数k?

11. 设函数z?lnx2?4y，则dzx?1y?0?

(?1)nn12. 幂级数?x的收敛域为

nn?0?

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限lim(x?011?2)

xtanxxx?y14、设函数y?y(x)由方程y?e15、求不定积分xarctanxdx

dyd2y?2x所确定，求,2

dxdx?16、计算定积分

?40x?3dx 2x?1?x?2?t?17、求通过点(1,1,1)，且与直线?y?3?2t垂直，又与平面2x?z?5?0平行的直线的方

?z?5?3t?程。

?2z18、设z?yf(xy,e)，其中函数f具有二阶连续偏导数，求

?x?y2x19、计算二重积分区域。

2x?1?y，其中D是由曲线，直线y?x及x轴所围成的闭xdxdy??D20、已知函数y?e和y?ex?2x是二阶常系数齐次线性微分方程y?py?qy?0的两个解，

\'\'x试确定常数p,q的值，并求微分方程y?py?qy?e的通解。

四、证明题（每小题9分，共18分） 21、证明：当x?1时，ex?1?121x? 22??(x),x?0,?22、设f(x)??x其中函数?(x)在x?0处具有二阶连续导数，且

?x?0,?1,?(0)?0,?'(0)?1，证明：函数f(x)在x?0处连续且可导。

五、综合题（每小题10分，共20分）

23、设由抛物线y?x(x?0)，直线y?a2(0?a?1)与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V1(a)，由抛物线y?x(x?0)，直线y?a(0?a?1)与直线x?1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V2(a)，另

222V(a)?V1(a)?V2(a)，试求常数a的值，使V(a)取得最小值。

f'(x)24、设函数f(x)满足方程f(x)?f(x)?2e，且f(0)?2，记由曲线y?与直线

f(x)'xy?1,x?t(t?0)及y轴所围平面图形的面积为A(t)，试求limA(t)

t???2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、A 2、C 3、B 4、D 5、D 6、C 7、e 8、2

29、

? 10、?4 11、dx?2dy 12、(?1,1] 2x?tanxx?tanx1?sec2x?tan2x1?lim?lim?lim??13、原式=lim2.

x?0xtanxx?0x?0x?03x33x23x2dydydy2?ex?yd2y9ex?yx?y14、 ?e(1?)?2，?;??dxdxdx1?ex?ydx2(1?ex?y)315、原式?1211xarctanx?x?arctanx?C. 222t2?116、变量替换：令2x?1?t，x?，dx?tdt，

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