闭区间上二次函数的最值问题

1. 课前回顾 回顾：二次函数

时，

在__________上是减函数.

2. 精析例题 1) 轴定区间定：二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定

二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数f(x)?x?2x?3在下列区间上最值： （1）x?

（2）x???3,?2? （3）x???2,2? （4）x??2,4?

2的对称轴为__________，顶点为________。 在__________上是增函数；

2) 轴定区间变：二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情

况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. （1）如果函数

（2）如果函数

定义在区间定义在区间

上，求上，求

的最小值。 的最大值。

1

3) 轴变区间定：二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固

定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系： 轴在区间右边 ②轴在区间左边 ③轴在区间内

例3. 已知f(x)?x?2tx?2在x?[0,1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式.

方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系：

轴在区间右边 ②轴在区间左边 ③轴在区间内

小结：

1) 二次函数在闭区间上的最值的求法:

四看(开口方向、相对位置、单调性、最值点)加一看（看图像）. 2) 二次函数在闭区间上的最值的规律:

两大类（对称轴在闭区间内、外）

四小类（对称轴在闭区间左侧、右侧、内部靠近左端点、内部靠近右端点）. 3) 本节课用到的数学思想:数形结合思想与分类讨论思想.

本节课涵盖了二次函数在闭区间上的最值中出现的常见问题，不论是正向型还是逆向型，设计中主要体现在它们总体解题思路是：1、确定开口;1、根据对称轴和区间的三种位置关系：（1）轴在区间右边；（2）轴在区间左边；（3）轴在区间内，根据这三种位置关系一一分类讨论并且结合二次函数图像及性质求解。在过程中我们运用了分类讨论、数形结合、转化化规三种重要的数学思想方法。

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3. 课堂检测

1) 已知函数f(x)??x?2ax?1?a，x?[0,1]上的最值。

2) 已知函数f(x)?ax?2ax?1在区间[?3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

点评：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，本练习要求学生会求解已知二次函数在某区间上的最值时函数或区间中参数的取值，并可由此总结得到，不管是哪一类问题的关键都是确定开口和对称轴与区间的位置关系。

4. 结束语

【设计意图】借助名人名言再次强调数形结合思想的重要性.

5. 作业设计

1) 函数y??x?8x在下列区间上最值：

（1）x???6,0? （3）x??2,6? （4）x??7,10? 2) 函数f(x)?x?2x?3,x??t,t?2?，求函数f(x)的最值。

2222数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事非！ ——华罗庚

3) 函数f(x)?x?ax?3,x???2,2?，求函数f(x)的最值。

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