二元一次方程组及其解法

考点·方法·破译

1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念；

2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义； 3．熟练掌握二元一次方程组的解法.

经典·考题·赏析

【例1】 已知下列方程2xm1＋3yn3＝5是二元一次方程，则m＋n＝ . 【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件： ⑴这个方程中有且只有两个未知数； ⑵含未知数的次数是1；

⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.

－

＋

【解】根据二元一次方程的概念可知：??m?1?1，解得m＝2,n＝ －2,故m＋n＝0.

?n?3?1【变式题组】

01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.

⑴2x＋5y＝16 (2)2x＋y＋z＝3 (3)02．若方程2xa1＋3＝y2b

＋

－5

1＋y＝21 (4)x2＋2x＋1＝0 (5)2x＋10xy＝5 x是二元一次方程，则a＝ ,b＝ .

?4x2?3y?1003．在下列四个方程组①?，②

?2x?4y?9?4x?y?12，③??7xy?29?1??2y?0，?x??2x?3y?4?7x?8y?5④?中，是二元一次方程组的有 （ ）

x?45y?0?A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（十堰中考）二元一次方程组??3x?2y?7 的解是 （ ）

x?2y?5??x?4 D． ??y?2?x?3 ??y?1A． ??x?3 B．

?y?2?x?1 C． ??y?2【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案.

本例中，方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选D． 【变式题组】 01．（杭州）若x=1，y=2是方程ax－y＝3的解，则a的值是 （ ）

A．5 B．－5 C．2 D．1

02．（盐城）若二元一次方程的一个解为??x?2，则此方程可以是 （只要求

?y??1写一个）

03.（义乌）已知：∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°,y°,下列

方程组中符合题意的是 （ ）

?x?y?180A． ? B．

x?y?30??x?y?180 C． ?x?y?30??x?y?90 D． ?x?y?30??x?y?90 ?x?y?30??3?x?2?ax?by?54．（连云港）若?，是二元一次方程组?2，的解，则a＋2b的值为 .

y?1???ax?by?2【例3】解方程组??x?y?7①

?3x?5y?17②

【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或－1时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得y＝7－x ③,将③带入②可消去y,从而求解.

解：由①得，y＝7－x ③

将③带入②，得 3x＋5(7－x)＝17, 即35－2x＝17 x＝9

故此方程组的解是?【变式题组】 1.解方程组：

?x?9

?y??2?2x?y?4?x?4y??1（南京）⑴? （海淀）⑵?

x?2y?52x?y?16??（花都）⑶??2x?y?4?3x?y?5 （朝阳）⑷?

?x?2y?5?5x?2y?232．方程组??x?y?5的解满足x＋y＋a＝0,则a的值为 （ ）

2x?y?5??2x?y?3①

?3x?5y?11②

A．5 B．－5 C．3 D．－3 【例4】解方程组?【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消去，原则上尽量选择系数绝对值较小的未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系数符号相同，则相减，若系数符号相反，则相加.

本题中，y的系数绝对值之比为5：1＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y.

解：①×5得，y＝7－x ③

③＋②,得 ，13x＝26 ∴x＝2 将x＝2代入①得 y＝－1 ∴此方程组的解是?【变式题组】

?x?2.

?y??1?x?101．(广州)以?为解的二元一次方程组是 （ ）

y??1?A．??x?y?0?x?y?0?x?y?0?x?y?0 B．? C．? D．?

?x?y?1?x?y??1?x?y?2?x?y??202．解下列方程组：

?x?2y?3?2x?3y??5（日照）⑴? （宿迁）⑵?

3x?8y?133x?2y?12??03．（临汾）已知方程组??ax?by?4?x?2的解为?，则2a－3b的值为 （ ）

?ax?by?2?y?1A．4 B．6 C．－6 D．－4

?2x?y?5①

04．已知? ，那么x－y的值为 ，x＋y的值为 .

② ?x?2y?6

【例5】已知二元一次方程组??3x?2y?2k?12①

的解满足x＋y＝6,求k的值.

?4x?3y?4k?2②

【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k而得一个二元一次方程，此方程与x＋y＝6联立，求得x、y的值，从而代入①或②可求得k的值；另一种是直接由方程组解出x、y，其中x、y含有k,即用含k的代数式分别表示x、y，再代入x＋y＝6得以k为未知数的一元一次方程，继而求k的值.

解：①×2，得， 6x＋4y＝4k＋24 ③ ③－②,得 2x＋7y＝22 ④ 由x＋y＝6，得2x＋2y＝12 ⑤，⑤－④,得 －5y＝－10 ∴y＝2 将y＝2代入x＋y＝6得 x＝4 将

?x?4带入①得 3×4＋2×2＝2k＋12 ∴k＝2. ?y?2?【变式题组】 01．已知⑴??mx?3ny?1?3x?y?6与⑵?有相同的解，则m＝ ,n＝ .

?5x?ny?n?2?4x?2y?8?x?y?502．方程组?的解满足方程x＋y－a＝0, 那么a的值为 （ ）

2x?y?5?A．5 B．－5 C．3 D．－3