3.（2016年全国Ⅰ卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，
?AFD?90o，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60o．
（I）证明：平面ABEF?平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值．
4.（2016年全国Ⅱ卷）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB?5,AC?6，点E,F分别在AD,CD上，AE?CF?5'，EF交BD于点H．将?DEF沿EF折到?DEF位置，4OD??10．
（Ⅰ）证明：D?H?平面ABCD； （Ⅱ）求二面角B?D?A?C的正弦值．
5.（2017全国Ⅰ卷）如图所示，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，且?BAP??CDP?90o. (1)求证：平面PAB?平面PAD；
(2)若PA?PD?AB?DC，?APD?90o，求二面角A?PB?C的余弦值.
P
DABC
5
6.（2017全国Ⅲ卷）如图所示，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形， ?ABD??CBD，AB?BD．
（1）求证：平面ACD?平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．
7.（2018年全国Ⅰ卷）如图，四边形折起，使点到达点的位置，且（1）证明：平面（2）求
与平面
平面
；
为正方形，.
分别为
的中点，以
为折痕把
所成角的正弦值.
8.（2018年全国Ⅱ卷）如图，在三棱锥中点． （1）证明：（2）若点在棱
平面
；
为
中，，，为的
上，且二面角，求与平面所成角的正弦值．
6
?所在平面垂直，M9.（2018年全国Ⅲ卷）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD?上异于C，D的点． 是CD（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M?ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
10.（2019年全国Ⅱ卷19题）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； CG?A的大小. （2）求图2中的二面角B?
小结：利用向量法解立体几何问题，学生觉得这类题运算量大、容易出错，在考试中花时间多，不易拿分。要解决这些问题关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.每一个步骤的处理恰当与否都会影响到下一步的运算量及运算难度，如何突破这四个步骤，请参看我的《向量法解立体几何的运算技巧与策略》。
7
新课标全国卷历年高考例题几何真题
类型一：
1.【解析】(1) 连接BD交AC于点为G,连接EG.在三角形PBD中,中位线EG∥PB, 且EG在平面AEC上，所以PB∥平面AEC.
(2)设CD=m,分别以AD,AB,AP为x,y,z轴建立坐标系,则A(0,0,0),D(
?31?,C(3,0,0),E?,0,??2?2??3,m,0).所以
ruuuruuur?31?uuu,AC=3,m,0.设平面ADEAD=(3,0,0), AE=??2,0,2????ururuuururuuur的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1?AD=0, n1?AE=0,解得一个
??uruuruuruuuruuruuuruurn1=(0,1,0).同理设平面ACE的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2?AC=0, n2?AE=0,解得一个n2=(m,-
uruurn1?n2uruur3?13=,解得m=. 3,-3m).因为cos=|cos
EF1=,EF⊥面ACD,即为三棱锥E-ACD的高. 22所以VE-ACD=错误!未找到引用源。·S△ACD·EF=
11313×××3×=.所以,三棱锥E-ACD的体积为322283. 82.【解析】(1)连结BD,设BD∩AC=G,连结EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=错误!未找到引用源。.由BE⊥平面ABCD,AB=BC
可知AE=EC.又AE⊥EC,所以EG=错误!未找到引用源。,且EG⊥AC.在Rt△EBG中,
可得BE=错误!未找到引用源。,故DF=错误!未找到引用源。.在Rt△FDG中,可得FG=错误!未找到引用源。.在直角梯形BDFE中,
由BD=2,BE=错误!未找到引用源。,DF=错误!未找到引用源。,可得EF=错误!未找到引用源。.从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.,
又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.又因为EG?平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.
(2)如图,以G为坐标原点,分别以错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。的方向为x轴,y轴正方向,|错误!未找到引用源。|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz. 由(1)可得A(?,??,?),E(?,?,?),F(??,?,?),C(?,?,?)， ?uuuruuuruuuruuuruuuruuur?AE?CF?ruuur??). 故cos?AE,CF??uuu所以AE?(?,?,?),CF?(??,??,.
??|AE||CF|
8