全国卷历年高考立体几何真题归类分析2019(含答案) 下载本文

3.(2016年全国Ⅰ卷)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,

?AFD?90o,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60o.

(I)证明:平面ABEF?平面EFDC;(II)求二面角E-BC-A的余弦值.

4.(2016年全国Ⅱ卷)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB?5,AC?6,点E,F分别在AD,CD上,AE?CF?5',EF交BD于点H.将?DEF沿EF折到?DEF位置,4OD??10.

(Ⅰ)证明:D?H?平面ABCD; (Ⅱ)求二面角B?D?A?C的正弦值.

5.(2017全国Ⅰ卷)如图所示,在四棱锥P?ABCD中,AB//CD,且?BAP??CDP?90o. (1)求证:平面PAB?平面PAD;

(2)若PA?PD?AB?DC,?APD?90o,求二面角A?PB?C的余弦值.

P

DABC

5

6.(2017全国Ⅲ卷)如图所示,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形, ?ABD??CBD,AB?BD.

(1)求证:平面ACD?平面ABC;

(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.

7.(2018年全国Ⅰ卷)如图,四边形折起,使点到达点的位置,且(1)证明:平面(2)求

与平面

平面

为正方形,.

分别为

的中点,以

为折痕把

所成角的正弦值.

8.(2018年全国Ⅱ卷)如图,在三棱锥中点. (1)证明:(2)若点在棱

平面

中,,,为的

上,且二面角,求与平面所成角的正弦值.

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?所在平面垂直,M9.(2018年全国Ⅲ卷)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD?上异于C,D的点. 是CD(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;

(2)当三棱锥M?ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

10.(2019年全国Ⅱ卷19题)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2. (1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; CG?A的大小. (2)求图2中的二面角B?

小结:利用向量法解立体几何问题,学生觉得这类题运算量大、容易出错,在考试中花时间多,不易拿分。要解决这些问题关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.每一个步骤的处理恰当与否都会影响到下一步的运算量及运算难度,如何突破这四个步骤,请参看我的《向量法解立体几何的运算技巧与策略》。

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新课标全国卷历年高考例题几何真题

类型一:

1.【解析】(1) 连接BD交AC于点为G,连接EG.在三角形PBD中,中位线EG∥PB, 且EG在平面AEC上,所以PB∥平面AEC.

(2)设CD=m,分别以AD,AB,AP为x,y,z轴建立坐标系,则A(0,0,0),D(

?31?,C(3,0,0),E?,0,??2?2??3,m,0).所以

ruuuruuur?31?uuu,AC=3,m,0.设平面ADEAD=(3,0,0), AE=??2,0,2????ururuuururuuur的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1?AD=0, n1?AE=0,解得一个

??uruuruuruuuruuruuuruurn1=(0,1,0).同理设平面ACE的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2?AC=0, n2?AE=0,解得一个n2=(m,-

uruurn1?n2uruur3?13=,解得m=. 3,-3m).因为cos=|cos|=uruur=32n1n2m2?3?3m22设F为AD的中点,则PA∥EF,且PA=

EF1=,EF⊥面ACD,即为三棱锥E-ACD的高. 22所以VE-ACD=错误!未找到引用源。·S△ACD·EF=

11313×××3×=.所以,三棱锥E-ACD的体积为322283. 82.【解析】(1)连结BD,设BD∩AC=G,连结EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=错误!未找到引用源。.由BE⊥平面ABCD,AB=BC

可知AE=EC.又AE⊥EC,所以EG=错误!未找到引用源。,且EG⊥AC.在Rt△EBG中,

可得BE=错误!未找到引用源。,故DF=错误!未找到引用源。.在Rt△FDG中,可得FG=错误!未找到引用源。.在直角梯形BDFE中,

由BD=2,BE=错误!未找到引用源。,DF=错误!未找到引用源。,可得EF=错误!未找到引用源。.从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.,

又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.又因为EG?平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.

(2)如图,以G为坐标原点,分别以错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。的方向为x轴,y轴正方向,|错误!未找到引用源。|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz. 由(1)可得A(?,??,?),E(?,?,?),F(??,?,?),C(?,?,?), ?uuuruuuruuuruuuruuuruuur?AE?CF?ruuur??). 故cos?AE,CF??uuu所以AE?(?,?,?),CF?(??,??,.

??|AE||CF|

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