既然选择了远方，就必须风雨兼程

第十一讲 平行四边形中的动点问题

时间： 年 月 日 刘满江老师 学生姓名：

一、兴趣导入

二、学前测试

1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）

∠1=∠2 ∠BAD=∠BCD AC⊥BD A． B． C． AB=CD D．

考点： 平行四边形的性质．

分析： 根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可． 解答： 解：∵在平行四边形ABCD中，

∴AB∥CD，

∴∠1=∠2，故此选项正确，不合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，故B，C选项正确，不合题意； 无法得出AC⊥BD，故此选项错误，符合题意． 故选D．

点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键． 2.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件： ①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD

从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ） A． 3种 B． 4种 C． 5种 D． 6种

考点： 平行四边形的判定．

分析： 根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可． 解答： 解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边

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形；

③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形； ①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形； 故选：B．

点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．

3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则

的值为（ ）

A． 1

B．

C．

D．

考点： 三角形中位线定理；平行四边形的性质．

分析： 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出H是AO的中点，再根据平行四边形

的对角线互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解即可．

解答： 解：∵点E，F分别是边AD，AB的中点，

∴AH=HO，

∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴AO=CO， ∴CH=3AH，

∴

=．

故选C．

三、方法培养：

知识要点：

平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 平行四边形的性质：边：对边平行且相等

角：内角和为______,外角和___________，邻角______,对角__________ 对角线：互相平分

平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离叫

性质：平行线之间的距离处处相等。

推广：夹在两条平行线之间平行线段相等 平行四边形的判定：

定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

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定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

例11．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，

AD=16．

动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）当t为何值时，四边形PQCD的面积是梯形ABCD的面积的一半；

（2）四边形PQCD能为平行四边形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由． （3）四边形PQCD能为等腰梯形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由． 考点：等腰梯形的判定；平行四边形的判定；直角梯形。 专题：动点型。

分析：（1）根据：路程=速度×时间，表示线段的长度，再利用：S梯形ABPQ=S梯形PQDC，列方程求解； （2）只要能满足DQ=PC即可，由此建立等量关系，列方程求解；

（3）当四边形PQCD为等腰梯形时，作PE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F，需要满足QE=CF， 由此建立等量关系，列方程求解． 解答：解：（1）由已知得：AQ=t，QD=16﹣t，BP=2t，PC=21﹣2t， 依题意，得(t?2t)?12?(16?t?21?2t)?12解得

2 2；

（2）能；当四边形PQDC为平行四边形时，

DQ=PC，即16﹣t=21﹣2t 解得t=5； （3）不能

作QE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F， 当四边形PQCD为等腰梯形时，PE=CF， 即t﹣2t=21﹣16

解得t=﹣5，不合实际．

点评：本题考查了梯形计算面积的方法，根据平行四边形、等腰梯形的性质列方程求解的问题．

11变式练习：如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P

从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？ （3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ． 考点：直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质。 解答：（1）解：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16， 依题意AQ=t，BP=2t，则DQ=16﹣t，PC=21﹣2t， 过点P作PE⊥AD于E，

则四边形ADPE是矩形，PE=AB=12， ∴S△DPQ=DQ?AB=（16﹣t）×12=﹣6t+96．

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（2）当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ， ∴21﹣2t=16﹣t解得：t=5，

∴当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形． （3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12， ①当PD=PQ时，QE=ED=AQ=t， ∴AD=3t即16=3t，解得：t=②当DQ=PQ时，DQ2=PQ2 ∴t2+122=（16﹣t）2解得：t=

∴当t=时，DQ=PQ ， ∴当t=

时，PD=PQ

☆专题2：平行四边形的证明

【例2】如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动．当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒， （1）直角梯形ABCD的面积为 cm2；

（2）当t= 秒时，四边形PQCD成为平行四边形？ （3）当t= 秒时，AQ=DC；

（4）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 考点：直角梯形；平行四边形的判定。 解答：解：（1）作DM⊥BC于点M．则四边形ABMD是平行四边形 ∴DM=AB=6cm．在直角△CDM中，CM=

=8cm ∴BC=BM+CM=4+8=12cm

∴直角梯形ABCD的面积为（AD+BC）?AB=48cm2；

（2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形 即4﹣5x=4x x=；

（3）BQ=12﹣5x 在直角△ABQ中，AB2+BQ2=AQ2 即62+（125x）2=102 解得x=； （4）存在，

． 连接QD，则CP=14﹣4t，CQ=5t

﹣解得

若QP⊥CD，S△DQC=S△DQC，有CQ×AB=CD×QP 得QP=3t 在RtS△QPC中

QP2+PC2=CQ2，即（3t）2+（14﹣4t）2=（5t）2 解之得

求得BC=12 CP=14﹣4t=7＜10 CQ=5t=

＜12

所以，存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC．

变式练习

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动．当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒， （1）这个直角梯形ABCD的面积是多少？

（2）当t为何值时，四边形PQCD成为平行四边形？

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（3）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值，若不存在，说明理由． 分析：（1）作DM⊥BC于点M，在直角△CDM中，根据勾股定理即可求得CM，得到下底边的长，根据梯形面积公式即可求解．

（2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形． （3）连接QD，根据S△DQC=S△DQC，即可求解． 解答：解：（1）作DM⊥BC于点M．则四边形ABMD是平行四边形， ∴DM=AB=6cm．在直角△CDM中，CM=

=8cm，

∴BC=BM+CM=4+8=12cm， ∴直角梯形ABCD的面积为 （AD+BC）?AB=48cm2； 二、当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形，即4﹣5x=4x， 解得x=； （3）存在，

．

连接QD，则CP=14﹣4t，CQ=5t， 若QP⊥CD，S△DQC=S△DQC，有CQ×AB=CD×QP，即5t×6=10×QP， 得QP=3t， 在RtS△QPC中， QP2+PC2=CQ2，即（3t）2+（14﹣4t）2=（5t）2 解之得

， 求得BC=12， CP=14﹣4t=7＜10， CQ=5t=

＜12，

所以，存在t=时，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC．

☆专题3：三角形的中位线

定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。

逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三

角形的中位线。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

【例3】直角三角形AOB在平面直角坐标系中如图所示，O与坐标原

DHEAFGBC点重合，点A在x轴上，点B在

y轴上，OB=2，∠BAO=30°，将△AOB沿直线BE折叠，使得OB边落在AB上，点O与点D重合． （1）求直线BE的解析式； （2）求点D的坐标；

（3）点P是x轴上的动点，使△PAB是等腰三角形，直接写出P点的坐标；

（4）点M是直线BE上的动点，过M点作AB的平行线交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以点M、N、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有M点的坐标；如果不存在说明理由．

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