习题四

3.（1）画一个有Euler 闭迹和Hamilton圈的图；

（2）画一个有Euler 闭迹但没有Hamilton圈的图； （3）画一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图；

（4）画一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图； 解：找到的图如下：

(1) 一个有Euler 闭迹和Hamilton圈的图；

(2) 一个有Euler 闭迹但没有Hamilton圈的图；

(3) 一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图;

(4)一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图.

7. 将G中的孤立点去掉后的图为G1，则G1也是没有奇度点的，且G1的最小

度大于等于2.则G1存在一个圈S1，在G1 –S1中去除孤立的点，得到一个新的图G2，显然G2也没有奇度的点，且G2的最小度大于等于2.这样G2中也存在一个圈S2，这样一直下去，指导Gm中有圈Sm，且Gm-Sm都是孤立的点。这样E(G) = E(G1)并E(G2)…并E(Gm).命题得证。

10．证明：若：

（1）不是二连通图，或者 （2）是具有二分类

的偶图，这里

,

则是非Hamilton图。

,由于课本

证明：（1）不是二连通图，则不连通或者存在割点,有上的相关定理：若是Hamilton图，则对于

的任意非空顶点集，有：

,则该定理的逆否命题也成立，所以可以得出：若不是二连通图，

则是非Hamilton图 (2)因为是具有二分类

的偶图，又因为

，在这里假设

的非空顶点集，有：

,则有

,也就是说：对于

成立，则可以得出则是非Hamilton图。

习题五

1. (1)证明：每个k方体都有完美匹配(k大于等于2)

(2) 求K2n和Kn,n中不同的完美匹配的个数。 证明一：证明每个k方体都是k正则偶图。

事实上，由k方体的构造：k方体有2k个顶点，每个顶点可以用长度为k的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。如果我们划分k方体的2k个顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X，否则归入Y。显然，X中顶点互不邻接，Y中顶点也如此。所以k方体是偶图。又不难知道k方体的每个顶点度数为k,所以k方体是k正则偶图。 由推论：k方体存在完美匹配。

证明二：直接在k方体中找出完美匹配。

设k方体顶点二进制码为(x1 ,x2,…,xk),我们取(x1 ,x2,…,xk-1,0),和(x1 ,x2,…,xk-1,1) 之间的全体边所成之集为M.显然，M中的边均不相邻接，所以作成k方体的匹配，又容易知道：|M|=2k-1.所以M是完美匹配。 (2) 我们用归纳法求K2n和Kn,n中不同的完美匹配的个数。

K2n的任意一个顶点有2n-1种不同的方法被匹配。所以K2n的不同完美匹配个数等于(2n-1)K2n-2,如此推下去，可以归纳出K2n的不同完美匹配个数为：(2n-1)!! 同样的推导方法可归纳出K n, n的不同完美匹配个数为：n!

6．证明：K2n的1-因子分解的数目为(2n)!/(2^n*n!)。

因为 K2n的不同完美匹配的个数为(2n-1)!!。所以，K2n的一因子分解数目为(2n-1)!!个，即2n)!/(2^n*n!)，命题得证。

7．将

表示为四个生成圈之和。

2(2n)+1

证明：K4n+1= K

。

所以

, 所以，可以分解为2n个边不重的2因子之和。而

可以表示为四个边不重的2因子之和，对于每个分解出的因子的路径为：

,

则的四条路径为：

, , , ,

则生成圈是之和。

与的两个端点连线生成的。所以可以将表示为四个生成圈

13.

所以最小的权值之和为30