2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试

上海 数学试卷（理工农医类）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1、设x?R,则不等式x?3?1的解集为______________________ 2、设Z?3?2i，期中i为虚数单位，则Imz=______________________ i3、已知平行直线l1:2x?y?1?0,l2:2x?y?1?0，则l1,l2的距离_______________

4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）

5、已知点(3,9)在函数f(x)?1?a的图像上，则f(x)的反函数fx?1(x)?________

6、如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于____________

7、方程3sinx?1?cos2x在区间?0,2??上的解为___________ 学.科.网

232??8、在?3x??的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________

x??9、已知?ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设a?0,b?0.若关于x,y的方程组?n?ax?y?1无解，则a?b的取值范围是____________

?x?by?111.无穷数列?an?由k个不同的数组成，Sn为?an?的前n项和.若对任意n?N?，Sn??2,3?，则k的最大值为.

12.在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线y?1?x2上一个动点，则BP?BA的取值范围是.

13.设a,b?R,c??0,2??，若对任意实数x都有2sin?3x???????asin?bx?c?，则满足条件的有序实数组3??a,b,c?的组数为.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2?A8的中心，

A1?1,0?.任取不同的两点Ai,Aj，点P满足OP?OAi?OAj?0，则点P

落在第一象限的概率是.

二、选择题（5×4=20）

15.设a?R，则“a?1”是“a2?1”的（ ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A）??6?5cos? （B）??6?5sin? （C）??6?5cos? （D）??6?5sin?

17.已知无穷等比数列?an?的公比为q，前n项和为Sn，且limSn?S.下列条件中，使得2Sn?Sn?N?恒

n??

??成立的是（ ）

（A）a1?0,0.6?q?0.7 （B）a1?0,?0.7?q??0.6 （C）a1?0,0.7?q?0.8 （D）a1?0,?0.8?q??0.7

18、设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)?g(x)、f(x)?h(x)、

g(x)?h(x)均为增函数，则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；②若f(x)?g(x)、f(x)?h(x)、g(x)?h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是

（ ）

A、①和②均为真命题B、①和②均为假命题

C、①为真命题，②为假命题D、①为假命题，②为真命题 学科.网

三、解答题（74分）

19.将边长为1的正方形AAO?，A1B1长11O（及其内部）绕的OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为为

23?，其中B1与C在平面AAO11O的同侧。 3OA1 B1 A （1）求三棱锥C?O1A1B1的体积；学.科网 （2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小。

C

20、（本题满分14）

有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图 （1）求菜地内的分界线C的方程

（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积

8。设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、3另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一

的“经验值”为

个更接近于S1面积的经验值

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

y2双曲线x?2?1(b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点。

b2（1）若l的倾斜角为

?，?F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 2（2）设b?3，若l的斜率存在，且(F1A?F1B)?AB?0，求l的斜率. 学科&网

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知a?R，函数f(x)?log2(1?a). x

（1）当a?5时，解不等式f(x)?0；

（2）若关于x的方程f(x)?log2[(a?4)x?2a?5]?0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围； （3）设a?0，若对任意t?[,1]，函数f(x)在区间[t,t?1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

若无穷数列{an}满足：只要ap?aq(p,q?N*)，必有ap?1?aq?1，则称{an}具有性质P.

12（1）若{an}具有性质P，且a1?1,a2?2,a4?3,a5?2，a6?a7?a8?21，求a3；

（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1?c5?1，b5?c1?81，

an?bn?cn判断{an}是否具有性质P，并说明理由；

（3）设{bn}是无穷数列，已知an?1?bn?sinan(n?N).求证：“对任意a1,{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”.

*

参考答案

1. (2,4) 2. ?3 3.

25 54. 1.76 5. log2(x?1) 6. 22 ?5?或 668. 112

7. 9.

73 310. （ 2，+?）11. 4 12. [0,1?2] 13. 4

5 2815.A 16.D 17.B 18.D

14.

19. （1）由题意可知，圆柱的高h?1，底面半径r?1． 由?1?1的长为

??，可知??1?1?1?． 33S??1?1?1?13?1?1??1?1?sin??1?1?1?， 2413VC??1?1?1?S??1?1?1?h?．

312（2）设过点?1的母线与下底面交于点?，则??1//??1，