6.答案：

5 143解：注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C9?84种，

当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况： （1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，

（2）三点是边长为1,1,2的等腰直角三角形的顶点，有4?4?16种情况，

（3）三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(?1,0)，(0,?1)的各有一个，共有8种情况.

综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6?16?8?30，进而所求概率为

305?. 84147.答案：

1?17 2x2y2?1，显然必须?a?0，故二次曲线为双曲线，其标准方程为解：二次曲线方程可写成?2?aay2x222222c?(?a)?(?a)?a?aa?a?4，又a?0，，则，注意到焦距，可知2c?4??122(?a)(?a)所以a?1?17. 28.答案：574 解：由条件知c?[2017]?2，当c?1时，有10?b?20，对于每个这样的正整数b，由10b?a?201知，1000相应的a的个数为202?10b，从而这样的正整数组的个数为

b?10?(202?10b)?20(102?2)?11?572，

2当c?2时，由20?b?[20172017]，知，b?20，进而200?a?[]?201， 10010故a?200,201，此时共有2组(a,b,c).

综上所述，满足条件的正整数组的个数为572?2?574.

9.解：设t?2，则t?[2,4]，于是|t?a|?|5?t|对所有t?[2,4]成立，由于

x|t?a|?|5?t|?(t?a)2?(5?t)2，?(2t?a?5)(5?a)?0，

对给定实数a，设f(t)?(2t?a?5)(5?a)，则f(t)是关于t的一次函数或常值函数，注意t?[2,4]，因

此f(t)?0等价于??f(2)?(?1?a)(5?a)?0，解得3?a?5

f(4)?(3?a)(5?a)?0?所以实数a的取值范围是3?a?5.

2210.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则bn?1?bn?(an?2an?3?an?1)?(an?1an?2?an)

?an?2(an?3?an?1)?(an?1?an)(an?1?an)?an?2g2d?(an?1?an)gd?(2an?2?an?1?an)gd?3d2

所以数列{bn}也是等差数列.

（2）由已知条件及（1）的结果知：3d?d，因为d?0，故d?22bn?an?1an?2?an?(an?d)(an?2d)?an

21，这样32?3dan?2d2?an?

9若正整数s,t满足as?bt?Z，则as?bt?as?bt?22?a1?(s?1)d?a1?(t?1)d? 99s?t?22??Z. 39s?t?22记l?2a1??，则l?Z，且18a1?3(3l?s?t?1)?1是一个非零的整数，故|18a1|?1，从而

391|a1|?.

181117又当a1?时，有a1?b3???1?Z，

1818181综上所述，|a1|的最小值为.

18?2a1?2211.解：设P(t,2t)，则直线l的方程为y?x?2t?t，代入曲线C2的方程得，(x?4)?(x?2t?t)?8，

222化简可得：2x?2(t?2t?4)x?(t?2t)?8?0①，

由于l与C2交于两个不同的点，故关于x的方程①的判别式?为正，计算得，

2222??(t2?2t?4)2?2((t2?2t)2?8)?(t2?2t)2?8(t2?2t)?16?2(t2?2t)2?16 4??(t2?2t)2?8(t2?2t)??(t2?2t)(t2?2t?8)??t(t?2)(t?2)(t?4)，

因此有t?(?2,0)U(2,4)，②

2设Q,R的横坐标分别为x1,x2，由①知，x1?x2?t?2t?4，x1x2?12((t?2t)2?8)， 2因此，结合l的倾斜角为45可知，

o|PQ|g|PR|?2(x1?t2)g2(x2?t2)?2x1x2?2t2(x1?x2)?2t4

?(t2?2t)2?8?2t2(t2?2t?4)?2t4

?t4?4t3?4t2?8?2t4?4t3?8t2?2t4 ?t4?4t2?8 ?(t2?2)2?4，③

由②可知，t?2?(?2,2)U(2,14)，故(t?2)?[0,4)U(4,196)，从而由③得：

222|PQ|g|PR|?(t2?2)2?4?[4,8)U(8,200)

4?2t?t2|?22， 注1：利用C2的圆心到l的距离小于C2的半径，列出不等式|2同样可以求得②中t的范围.

注2：更简便的计算|PQ|g|PR|的方式是利用圆幂定理，事实上，C2的圆心为M(4,0)，半径为r?22，|PR|?|PM|2?r2?(t2?4)2?(2t)2?(22)2?t4?4t2?8. 故|PQ|g

加试试卷答案

一、

证明：当d?1时，不等式显然成立

以下设0?d?1，不妨设a,b不异号，即ab?0，那么有

(1?a)(1?b)?1?a?b?ab?1?a?b?1?c?1?d?0

因此(1?a)(1?b)(1?c)?(1?c)(1?c)?1?c2?1?c2?1?d2

二、

证明：取k?m?1，令Ai?{xx?i(modm?1),x?N?}，i?1,2,L,m?1 设a,b,c,d?Ai，则ab?cd?i?i?i?i?0(modm?1)，

故m?1ab?cd，而m?1m，所以在Ai中不存在4个数a,b,c,d，满足ab?cd?m

三、

证明：首先证明YX//BC，即证AXAYXC?YB 连接BD,CD，因为

S?ACQ?S?ABCSS?S?ACQ， ?ABC?ABPS?ABP1AC?CQsin?ACQ1AC?BCsin?ACB1AC?AQsin?CAQ所以21?2?2， ① 2AB?BCsin?ABC12AB?BPsin?ABP12AB?APsin?BAP由题设，BP,CQ是圆?的切线，所以?ACQ??ABC，?ACB??ABP，又?CAQ??DBC??DCB??BAP（注意D是弧BC的中点），于是由①知AB?AQCQAC?AP?BP因为?CAQ??BAP，所以?BAQ??CAP，

S1?ABQ2AB?AQsin?BAQ于是AB?AQS?? ③ ?ACP1AC?APsin?CAPAC?AP2S1?BCQ2BC?CQsin?BCQ而CQS? ④ ?BCP1?BC?BPsin?CBPBP2② 由②，③，④得

S?ABQS?ACP?S?CBQS?BCP，

即

S?ABQS?CBQS?ABQS?CBQ?S?ACP S?BCPAXS?ACPAY?， SYBXC?BCP又

?故

AXAY ?XCYBAXCMBY???1， XCMBYA设边BC的中点为M，因为

所以由塞瓦定理知，AM,BX,CY三线共点，交点即为T，故由YX//BC可得AT平分线段XY

四、

解：考虑一组满足条件的正整数(a1,a2,L,a20,b1,b2,L,b20)

对k?1,2,L,5，设a1,L,a20中取值为k的数有tk个，根据X的定义，当ai?aj时，(i,j)?X，因此至少有

?Ck?12tk52tk个(i,j)不在X中，注意到

?tk?15k?20，则柯西不等式，我们有

555111512022C??(?tk??tk)??((?tk)??tk)??20?(?1)?30 ?2k?125k?125k?1k?1k?12从而X的元素个数不超过C20?30?190?30?160

5另一方面，取a4k?3?a4k?2?a4k?1?a4k?k（k?1,2,L,5），bi?6?ai（i?1,2,L,20）， 则对任意i,j（1?i?j?20），有(ai?aj)(bi?bj)?(ai?aj)((6?ai)?(6?aj))??(ai?aj)?0

22等号成立当且仅当ai?aj，这恰好发生5C4?30次，此时X的元素个数达到C20?30?160

2综上所述，X的元素个数的最大值为160.