概率统计习题

习题一

一填空题

（1）设A,B,C为三事件，试用A,B,C的运算表示下列事件：A,B,C中不多于两个发生：A?B?C,A,B,C中至少有两个发生：AB?AC?BC 或ABC?ABC?ABC?ABC

（2）设A,B为二事件，试用A,B的运算分别表示下列事件及其对立事件：

A,B都发生：AB,其对立事件为A?B?AB,

（2）设A,B为二事件，则P{(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)}?0 注

P{(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)}?P{(AB?BA?B)(A?B)(A?B)(A?B)}

?P{(AB?B)(A?B)(A?B)}?P{(AB?BA)(A?B)}?P{?}?0（4）设10件产品中有4件不合格，从中任取两件，已知两件中有两件中1有一件是不合格品，则另一件也是不合格的概率为。

5注：A1：两件均不合格，A2：一件合格，两件中有一件是不合格品即A1?A2； 两件中有一件是不合格品，另一件也是不合格即A1，故

P?P(A14P(A1(A1?A2))C261 )??2??11(A1?A2)P(A1?A2)6?4?65C4?C4C6（5）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，写出该试

验的样本空间。{10，11，??}

（6）假设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7，若A与B互不相容，则

P(B)?P(A?B)?P(A)?0.3，若A与B相互独立，则

P(B)?P(A?B)?P(A)?P(A)?P(B)?0,7?0.4?0.4P(B),P(B)?0.5

2甲乙丙三人各射一次靶，记A?“甲中靶”；B?“乙中靶”；C?“丙中靶”则用上述三事件的运算分别表示下列事件 （1）

甲未中靶：A； (2)甲中靶而乙未中靶AB

(3)三人中只有丙未中靶：ABC (4)三人中恰好一人中靶：ABC?ABC?ABC

(5)三人中至少一人中靶A?B?C (6)三人中至少一人未中靶A?B?C (7)三人中恰好两人中靶：ABC?ABC?ABC

(8)三人中至少两人中靶AB?BC?AC (9)三人中均未中靶：ABC (10)三人中至多一人中靶ABC?ABC?ABC?ABC (11)三人中至多两人中靶ABC?A?B?C

3 20个运动队，任意分成甲乙两组（每组10队）进行比赛，已知其中

有两个队是一级队，求这两个一级队： （1） 被分在不同组(A)的概率，；（2）被分在同一组(B)的概率。

P(A)?9C12C18C1020?0.526;P(B)?282C2C18C1020?0.474

或：因B?A,故P(B)?1?P(B)?1?P(A)?1?0.526?0.474 4

从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一

件次品的概率。

P?5

12C5C453C50?0.252

在长度为得线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。

a a2 a2 x a

0?x?a,0?y?a,且0?x?y?a，又

a?x?y??2x?y?a?x?y??a???x?y?a?x?y,??x?2???y?x?a?x?y,?y?a?2?P?1 46 在区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的积小于

1的概率。 41 xy?14 14 x 1

1P(xy?)?4?1??11(1?41)dx4x11?(x?lnx)11

4411?ln444111P(xy?)??ln44447 电路由电池组A与两个并联的电池组B及C串联而成，设电池组A,B,C损

坏的概率分别为0.3.0.2.0.2，求电路发生断电的概率是多少？（A,B,C为相互独立工作的电池组）

设A,B,C分别表示电池组A,B,C损坏，电路发生断电可表示为A?BC，故

P(A?BC)?P(A)?P(BC)?P(ABC)?P(A)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)

?P(A)?P(B)P(C)P(A)?0.3?0.22?0.7?0.3288设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？ P{活到25岁以上/活到20岁以上}P{活到20岁以上，且活到25岁以上}0.4 ???0.5P{活到20岁以上}0.89某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为生特大洪水的概率为

40年内发80％，

求已过去了30年发生特大洪水的地区在未来85％，

10年内发生特大洪水的概。

X:发生特大洪水的时刻。

P{30?X?40}?X?30P{X?30,30?X?40}0.05??0.25

P{X?30}0.210 发报台分别以概率0.6，0.4发出信号“.”与“__”,由于通讯系统受

到干扰,当发出信号“.”收 报台收报台未必收到信号“.”,而是分别以概率0.8与0.2收到信号“.”与“__”,, 当发出信号“__”时 ,收报台分别以概率0.9与0.1收到信号“__”与“.”,求收报台收到信号“.”, 发报台确实发出信号“.”的概率,以及收到信号“__”, 发报台确实发出信号“__”的概率.

A1:发出信号“.” A2:发出信号“__” B1:收到信号“.”; B2:收到信号“__”

由题设:P(A1)?0.6,P(B1A1)?0.8,P(A2)?0.4,P(B1/A2)?0.1于是:

P(A1)?P(A1)P(B1/A1)?P(A2)P(B1/A2)?0.6?0.8?0.4?0.1?0.52

由贝叶斯公式有:P(A1/B1)?又由:

P(A1)P(B1/A1)?0.903

P(B1)P(B2A1)?0.2,P(B2/A2)?0.9于是:

P(B2)?P(A1)P(B2/A1)?P(A2)P(B2/A2)?0.6?0.2?0.4?0.9?0.46

由贝叶斯公式有:P(A2/B2)?P(A2)P(B2/A2)?0.75

P(B2)11 设袋中有a个黑球，b个白球，现随机地从中取出一球，分别就（1）抽取后放回，（2）抽取后不放回，求出第k(1?k?a?b)次取出的一个球是黑球的概率。

（1）P?a a?b(2)P?k?1a(第k次取出黑球）Aa（?b?1a?b?1个球中取k?1个)kAa?b(a?b个球中取k个a(a?b?1)?[(a?b?1)?(k?1)?1]a??(a?b)(a?b?1)?(a?b?k?1)a?b

12 甲乙丙车间生产同一种螺钉，每个车间产量分别占产量的25％，

35％，40％，若每个车间成品中的次品率分别占产量的5％，4％，2％，

（1） 全部产品中任意抽出一螺钉，试问它是次品的概率是

多少？

（2） 全部产品中任意抽出恰好是次品 ，试问这个次品是甲

车间生产的概率是多少

（1）A1,A2,A3分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。B:抽

3出的一个是次品

P(B)??i?1P(Ai)P(B/Ai)?255354402???0.035

100100100100100100（3） 由贝叶斯公式

255P(A1)P(B/A1)100100??0.362 有:P(A1/B)?P(B)0.04513

10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直

到第n次才取出k(1?k?n)次红球的概率。

1k?19n?k1k?1k?19n?r1kCn?1()()?Cn() ?1()101010101014

灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000

小时后，最多只有一只坏了的概率。

记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好}

X: 3个使用1000小时后坏了的只数。则X～b(3,0.8)

01P(X?1)?C30.80?0.23?C30.8?0.22?0.2?3?0.2?4?13?0.2?0.104333

15

某人有两盒火柴，每盒中各有n根，吸烟时任取一盒，并从中

任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有r根的概率。 1n C2n?r2n?r

2注：可看作2n?r重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为

11，取了第二盒中一根火柴的概率也为，22设所求事件为B，则B相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了n根

火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了n?r根火柴，”的事件，故

1n1n?r1nnP(B)?C2?C2n?r()()n?r2n?r

222习题二

1 填空题

（1）设随机变量X的分布律为P{X?k}?a（2）设随机变量X的分布律为P{X?k}??kk!(k?0,1,2?）则a?e??

a(k?0,1,2?）则a?1 N（3）一均匀骰子在重复掷10次后，X表示点3出现的次数，则X服从：参

数

为

1b(10,)6的二项分布，分布律为

k1k510?kP{X?k}?C10()()(k?0,1,2?10）

662x,0?x?1,（4）设随机变量X的概率密度为f(x)??，Y表示对X的三?0,?次重复观察中事件?X??出现的次数，则

??1?2?1392123P{Y?2}?C3()?3??

4416464（5）已知X～N(?,?2),则Y?X???～N(0,1)

2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000

份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。 {报童赔钱}={0.15X<100}; X?10010?666?X?666 0.15153 设在15只同类型的零件中有两只次品，在其中取3次，每次任取一

只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。

P{X?1}?2C12C133C1521C2C13112??; P{X?2}? 33535C15P{X?0}?1?P{X?1}?P{X?2}?22 354 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为P，失败的概率为q?1?P，

（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。

（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。

（1）第X次成功，前X-1次全失败。

k?10k?1P{X?k}?[Ck]p?(1?p)k?1pk?1,2,? ?1p(1?p)（2）第Y次成功，前Y-1次成功r-1次。

r?1r?1P{Y?k}?Ck(1?p)k?r?p?1pk?r,r?1,?

?0,X?0?5 设随机变量X的分布函数F(x)??x2,0?x?1，试求（1）

?1,x?1?131P{X?}(2)P{?1?X?},(3)P{X?};

242111339(1)P{X?}?F()?(2)P{?1?X?}?F()?F(?1)?2244416 113,(3)P{X?}?1?P{X?}?2246 有一繁忙汽车站，每天有大量汽车通过，设每两汽车在一天的某时

段内出事故的概率为0.0001，在某天该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算） ??np?0.1

P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?e?0.1?0.1e?0.1?0.004

7 ?在t时间间隔内收到紧急呼救的次数X服从参数为

t的泊松分2布，??

（1）?中午12点至下午3时没有收到紧急呼救的概率。 （1）?中午12点至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。 （1）参数为

t3(t?3)?在3小时内收到k次呼救的概率为：2233?3()ke2?P{X?k}?2,k?0,1,2,?;P{X?0}?e2?0.220

k!5?()0e2t5（2）参数为(t?5)? ;P{X?1}?1?P{X?0}?1?2,?0.918

220!58 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内

故障不多于两次的概率。 p?0.001，（每个工作时内发生故障的概率）

X：100作时内发生故障的次数，X～b(100,0.001)

P{X?2}?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}010012?C1000.999?C1000.99999?0.001?C1000.99998?0.0012 ?0.1?0.10.12?0.1?e?e?0.999840!1!2!??np?0.1e?0.19设X～U[2,5],现对X进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。 P{X?3}?5?32? 5?232Y表示对X进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则Y～b(3,)，

382022213234 P{Y?2}?P{Y?2}?P{Y?3}?C3()?C3()???33392727?c,x?1,?10 设随机变量X～f(x)??1?x2求：（1）常数c,(2)X的分布函数

?0,?