2020九年级数学下册 第27章 圆本章总结提升同步练习 (新版)华东师大版 下载本文

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本章总结提升

问题1 与圆有关的概念

直径与弦有什么关系?弦与弧有什么区别?优弧与劣弧如何表示?长度相等的弧是等弧吗?

例1 有下列说法:①圆中最长的弦不一定是直径;②同一个圆中,优弧大于半圆周,劣弧小于半圆周;③等弧的长度一定相等;④经过圆内一个定点可以作无数条弦;⑤经过圆内一个定点可以作无数条直径.其中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 问题2 垂径定理及其推论

你能说出垂径定理及其推论的内容吗?垂径定理常与哪些定理相结合解决问题? 例2 如图27-T-1,CD为⊙O的直径,弦AB交CD于点E,连结BD,OB,AC. (1)求证:△AEC∽△DEB;

(2)若CD⊥AB,AB=8,DE=2,求⊙O的半径.

图27-T-1

【归纳总结】应用垂径定理时应注意:①定理中的“直径”是指过圆心的弦,但在实际应用中可以不是直径,可以是半径、过圆心的直线或线段等;②在利用垂径定理思考问题时,常常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心

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到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决.

问题2 圆心角、弧、弦之间的关系

在同圆或等圆中,两个相等的圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系?这些关系和圆的对称性有什么联系? ︵

例3 已知:如图27-T-2,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于点E,交BC于点D,连结AC,OC,CD,BD. (1)请写出六个不同类型的正确结论; (2)若BC=4,DE=1,求⊙O的半径.

图27-T-2

【归纳总结】在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等,这体现了转化思想. 问题4 圆周角定理及其推论

圆周角的两个要素是什么?圆周角定理及其推论的内容是什么?这个定理及其推论可以解决哪些类型的问题? 例4 如图27-T-3,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC于点E,交BC于点D,连结BE,AD交于点P.求证:

(1)D是BC的中点; (2)△BEC∽△ADC; (3)AC·CE=2PD·AD.

图27-T-3

【归纳总结】圆周角定理及其推论的作用:由圆周角定理及其推论的条件和结论可知,应用圆周角定理及其推论可以证明两角相等、两弧相等、一角(或弧)等于另一角(或弧)的2倍或一半,判定圆的直径或直角三角形,求角或弧的度数等.

问题5 圆内接四边形

什么是圆内接四边形?它有什么性质?这个性质与圆周角定理有什么关系?

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︵︵︵

例5 如图27-T-4所示,四边形ABCD内接于⊙O,F是CD上一点,且DF=BC,连结CF并延长交AD的延长线于点E,连结AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )

图27-T-4

A.45° B.50° C.55° D.60° 【归纳总结】圆内接四边形的性质是“圆内接四边形的对角互补”,这个性质是由圆周角定理推导出来的,其主要作用是计算角度,根据这个性质可以推出“圆内接四边形的外角等于它的内对角”. 问题6 直线与圆的位置关系

直线与圆有哪些位置关系?如何确定一条直线与一个圆是哪种位置关系?什么是圆的切线?切线的判定定理、切线的性质定理、切线长定理的内容各是什么?

例6 如图27-T-5,⊙O是△ABC的外接圆,AC为直径,弦BD=BA,BE⊥DC交DC的延长线于点E,连结AD. 求证:(1)∠1=∠BAD; (2)BE是⊙O的切线.

图27-T-5

【归纳总结】已知切线想性质,要证切线想判定;证明切线时,若明确已知直线与圆的公共点,则用切线的判定定理,若未明确已知直线与圆是否有公共点,则考虑圆心到直线的距离d与半径r是否相等;多条切线时,莫忘切线长定理.

问题7 求不规则图形的面积

什么是不规则图形?如何求与扇形有关的不规则图形的面积?求解过程体现了什么数学思想?

例7 如图27-T-6,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,以AB为直径作一个半圆,则图中阴影部分的面积为( )