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圆

本章总结提升

问题1 与圆有关的概念

直径与弦有什么关系？弦与弧有什么区别？优弧与劣弧如何表示？长度相等的弧是等弧吗？

例1 有下列说法：①圆中最长的弦不一定是直径；②同一个圆中，优弧大于半圆周，劣弧小于半圆周；③等弧的长度一定相等；④经过圆内一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一个定点可以作无数条直径．其中正确的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 问题2 垂径定理及其推论

你能说出垂径定理及其推论的内容吗？垂径定理常与哪些定理相结合解决问题？ 例2 如图27－T－1，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连结BD，OB，AC. (1)求证：△AEC∽△DEB；

(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．

图27－T－1

【归纳总结】应用垂径定理时应注意：①定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实际应用中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等；②在利用垂径定理思考问题时，常常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心

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到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决．

问题2 圆心角、弧、弦之间的关系

在同圆或等圆中，两个相等的圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？ ︵

例3 已知：如图27－T－2，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交BC于点D，连结AC，OC，CD，BD. (1)请写出六个不同类型的正确结论； (2)若BC＝4，DE＝1，求⊙O的半径．

图27－T－2

【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等，这体现了转化思想． 问题4 圆周角定理及其推论

圆周角的两个要素是什么？圆周角定理及其推论的内容是什么？这个定理及其推论可以解决哪些类型的问题？ 例4 如图27－T－3，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE，AD交于点P.求证：

(1)D是BC的中点； (2)△BEC∽△ADC； (3)AC·CE＝2PD·AD.

图27－T－3

【归纳总结】圆周角定理及其推论的作用：由圆周角定理及其推论的条件和结论可知，应用圆周角定理及其推论可以证明两角相等、两弧相等、一角(或弧)等于另一角(或弧)的2倍或一半，判定圆的直径或直角三角形，求角或弧的度数等．

问题5 圆内接四边形

什么是圆内接四边形？它有什么性质？这个性质与圆周角定理有什么关系？

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︵︵︵

例5 如图27－T－4所示，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF＝BC，连结CF并延长交AD的延长线于点E，连结AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为( )

图27－T－4

A．45° B．50° C．55° D．60° 【归纳总结】圆内接四边形的性质是“圆内接四边形的对角互补”，这个性质是由圆周角定理推导出来的，其主要作用是计算角度，根据这个性质可以推出“圆内接四边形的外角等于它的内对角”． 问题6 直线与圆的位置关系

直线与圆有哪些位置关系？如何确定一条直线与一个圆是哪种位置关系？什么是圆的切线？切线的判定定理、切线的性质定理、切线长定理的内容各是什么？

例6 如图27－T－5，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，连结AD. 求证：(1)∠1＝∠BAD； (2)BE是⊙O的切线．

图27－T－5

【归纳总结】已知切线想性质，要证切线想判定；证明切线时，若明确已知直线与圆的公共点，则用切线的判定定理，若未明确已知直线与圆是否有公共点，则考虑圆心到直线的距离d与半径r是否相等；多条切线时，莫忘切线长定理．

问题7 求不规则图形的面积

什么是不规则图形？如何求与扇形有关的不规则图形的面积？求解过程体现了什么数学思想？

例7 如图27－T－6，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( )