第五章

1．设X1,X2,?,Xn是来自分布N(0,?2)的样本，求?的极大似然估计量。

21n2解：???xi

ni?1?22．设X1,X2,?,Xn是来自分布N(?,?2)的样本，?和?都未知，求p{X?t}的极大似然估计量。

2???X??t??t??解：p{X?t}?p{???}??(?)??(1nt??xini?112(x?x)?ini?1n???)

3．已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布，在某月生产的该种灯泡中随机地抽取10只，测得其寿命为（单位：h）：

1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948

设总体参数都未知，试用极大似然估计法估计这个月生产的灯泡能使用1300h以上的概率。

}=0.0076 解： p{X?13004．给定一个容量为n的样本，试用极大似然估计法估计总体的未知参数?。设总体的概率密度为：

??x??1,0?x?1；?f(x)???0，其它。?（1）

?(??)x??1e??x?,x?0(?已知)；?f(x)???0，其它。?（2）

?x?x2(2?2),x?0；?2ef(x)????其它。?0，（3）

解：

（1）首先列出似然函数：L(?)??(nnn?x)?ii?1?1，则：

lnL(?)?nln??(??1)ln?lnxi

i?1dlnL(?)nn则似然方程：???lnxi)?0

d??i?1???解出 ?n?lnxi?1n

i（2）略 （3）略

5．设总体X的数学期望E(X)存在，X1和X2是容量为2的样本，试证统计量

13X1?X24412d2(X1,X2)?X1?X2

3311d3(X1,X2)?X1?X222d1(X1,X2)?都是总体期望的无偏估计量，并说明哪一个有效。

解：首先证明E[di(X1,X2)]?E(X)，再比较D[di(X1,X2)]。

n1???Xi??为6．设总体X服从分布N(?,?)，X1,X2,?,Xn是其样本。求k，使?ki?12?的无偏估计量。

解：k?n2?

7．设X1,X2,?,Xn为指数分布

x?1???f(x)???e(x?0)

??0(其他)的一个样本，试验证样本平均值X是?的极小方差无偏估计量。 解：略

8．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：h）分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0

设干燥时间总体服从正态分布N(?,?)。求?的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知?=0.6（h），（2）若?为未知。 解：（1）置信度为0.95的置信区间（5.608，6.392） (2)置信度为0.95的置信区间（5.5619，6.4381）

9．为了测定甲、乙两厂生产的某种材料的拉力强度是否相同，要求对两厂的产品拉力强度相差多少作出估计。于是从甲厂抽25个样品，乙厂抽取16个样品，测试结果甲厂平均拉力22公斤，乙厂平均拉力20公斤，根据过去的经验两个工厂的方差均为10公斤。设拉力强

2度服从正态分布。试对两个总体均值之差构造95%置信区间。

解：两个正太总体均值差区间估计，且总体方差已知，置信区间为

[(X?Y)?z??122n1?2?2n2]，得95%置信区间为（0.016，3.984）

10．甲、乙两厂生产同种型号电池。从甲厂抽取36个检查，平均使用寿命150小时，标准差为8小时。从乙厂抽取30个检查，平均使用寿命为140小时，标准差为6小时。设电池寿命服从下正态分布，试在置信度为0.95时求：

（1）两厂家电池产品的平均使用寿命之差的置信区间。（设两厂电池使用寿命方差相同。） （2）甲厂生产的电池使用寿命方差的置信区间。 （3）两厂家电池使用寿命方差之比的置信区间。 解：（1）两个正太总体均值差区间估计，方差未知但相同，置信区间为

2[(X?Y)???(n1?n2?2)?s?211?]，得置信度为0.95的置信区间为（6.5293，n1n213.4707）。

S2(n?1)S2(n?1),]，（2）置信区间为[2得置信度为0.95的置信区间为（42.10，108.90）

??(n?1)?12??(n?1)22（3）置信区间为[F1??222S12/S2S12/S2,]，得置信度为0.95的置信区间

(n1?1,n2?1)F?(n1?1,n2?1)2为（0.8630，3.5641）。 11．（1）求8题中?的置信度为0.95具有置信上限的置信区间。

（2）求10题中乙厂电池使用寿命方差?的置信度为0.95具有置信上限的置信区间。 （3）求10题中两厂家电池使用寿命方差比?甲?乙的置信度为0.95的置信上限。 解：（1）①方差已知。对1??有p{222

X???/n?z1??}?1??，具有置信上限的置信区间为

[0,X??nz1??]，即（0，6.329）。

②方差未知，对1??有p{X??S/n?t1??(n?1)}?1??，具有置信上限的置信区间为

[0,X?Snt1??(n?1)]，即（0，6.3533）。

S2(n?1)（2）对1??有p{?2??12??(n?1)}?1??，具有置信上限的置信区间为

S2(n?1)。 [0,2]，即（0，58.9564）

?1??(n?1)S12/?12（3）对1??有p{2?F1??(n1?1,n2?1)}?1??，具有置信上限的置信区间为2S2/?22S12/S2。 [0,]，即（0，3.5557）

F1??(n1?1,n2?1)12．设一枚硬币掷了400次，结果出现了175次正面，求出现正面概率的置信度为0.90的置信区间，再求置信度为0.99的置信区间。这枚硬币可以看作是均匀的吗？ 解：（1）因p~N(p,p(1?p))，即np?pp(1?p)n~N(0,1)，以样本比率p代替p计算估计

量的标准差，有置信区间[p?z??2p(1?p)。 ]，得（0.3964，0.4786）

n（2）类似的，得置信度为0.99的置信区间（0.3735，0.5015）。

13．某医药公司对其所做的报纸广告在甲、乙两个城市的效果进行了比较，他们从甲城市中随机调查了500名成年人，其中看过该广告的有110人，从乙城市中调查了600名成年人，其中看过该广告的有90人，试求两城市成年人中看过广告的比例之差的置信度为0.95的置信区间。

解：已知n1?500,n2?600，属于大样本。 有p1?p2~N(p1?p2,p1(1?p1)p2(1?p2)?)，以样本比率p代替p计算估计量的标

n1n2准差，则置信度为0.95的置信区间（0.024，0.116）。

14．某医院欲估计一名医生花在每个病人身上的平均时间。假如要求置信度为0.95，允许误差范围在?2分钟。且依以前的经验看病时间的标准差为6分钟。试问需要多大的样本？ 解：由?X?z??2n，得样本容量约为35。

15．高度表的误差服从正态分布，其标准差为15m。问飞机上至少应安装几个高度表，才能以99%的概率相信高度表的平均高度数值x，其误差不超过30m？

解：至少安装2个。

16．某公司新推出一种营养型豆奶，为做好促销工作，随机地选取顾客作为样本，并问他们是否喜欢此豆奶。如果要使置信度为0.95，估计误差不超过0.05，则在下列情况下，你建议的样本容量为多大？

（1）假如初步估计，约有60%的顾客喜欢此豆奶。

（2）假如没有任何资料可用来估计大约有多少比率的顾客会喜欢此种豆奶。

解：（1）由?p?z?2p(1?p)，得样本容量为369。 n（2）取p?0.5，得样本容量为385。