（Ⅲ）若BC?2，点E在线段PB上，求CE?OE的最小值．
2?61【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
23【解析】
试题分析：（Ⅰ）要证明?C?平面?D?，只需证明AC垂直于面?D?内的两条相交直线．首先由
可证明????C；又????C，D为?C的中点，可证明?C??D，??垂直于圆?所在的平面，
进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥P?ABC中，高PO?1，要使得P?ABC体积最大，则底面ABC面积最大，又AB?2是定值，故当AB边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥P?ABC体积；（Ⅲ）将侧面?C?绕??旋转至平面?C??，使之与平面???共面，此时线段OC的长度即为CE?OE的最小值． 试题解析：解法一：（I）在???C中，因为????C，D为?C的中点， 所以?C??D．
又??垂直于圆?所在的平面， 所以????C． 因为D?I????， 所以?C?平面?D?． （II）因为点C在圆?上，
所以当C????时，C到??的距离最大，且最大值为1． 又???2，所以???C面积的最大值为又因为三棱锥????C的高???1，
'1?2?1?1． 211．
33o（III）在????中，??????1，?????90，
故三棱锥????C体积的最大值为?1?1?22所以???1?1?2．
同理?C?2，所以????C??C．
在三棱锥????C中，将侧面?C?绕??旋转至平面?C??，使之与平面???共面，如图所示．
当?，?，C?共线时，C????取得最小值． 又因为?????，C???C??， 所以?C?垂直平分??， 即?为??中点．
262?6??从而?C??????C??， 2222?6亦即C????的最小值为．
2解法二：（I）、（II）同解法一．
（III）在????中，??????1，?????90，
22o所以?????45，???1?1?
o2．同理?C?2． o所以????C??C，所以?C???60．
在三棱锥????C中，将侧面?C?绕??旋转至平面?C??，使之与平面???共面，如图所示． 当?，?，C?共线时，C????取得最小值． 所以在??C??中，由余弦定理得：
?C?2?1?2?2?1?2?cos45o?60o
?? 21
?1?2?22?? ?2?3．
?2123? ?????2??2222?6． 22?6所以C????的最小值为．
2从而?C??2?3?考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积． 6．（2015福建理）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB^平面BEC，BE^EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(Ⅰ)求证：GF//平面ADE ； (Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
ADBFC2． 3
GE【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)
试题解析：解法一：（Ⅰ）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，
1所以GHPAB，且GH=AB，
21又F是CD中点，所以DF=CD，由四边形ABCD是矩形得，ABPCD，AB=CD，所以
2GHPDF，且GH=DF．从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF//DH，,又 DH趟平面ADE，GF平面ADE，所以GFP平面ADE．
22
ADHBGECFHADBGEC
FQ所以平
2． 3解法二：(Ⅰ)如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM//AE， 又AE?面ADE，GM?面ADE，所以GM//平面ADE． 在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得MF//AD． 又AD?面ADE，MF?面ADE，所以MF//面ADE． 又因为GMIMF?M，GM?面GMF，MF?面GMF，
所以面GMF//平面ADE，因为GF?面GMF，所以GM//平面ADE．
面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为
AMBGEC
（Ⅱ）同解法一．
考点：1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角． 7、（2015广东文）如图3，三角形?DC所在的平面与长方形??CD所在的平面垂直，?D??C?4，
23
DF
???6，?C?3．
?1?证明：?C//平面?D?； ?2?证明：?C??D；
?3?求点C到平面?D?的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）37． 2【解析】 试题解析：（1）因为四边形??CD是长方形，所以?C//?D，因为?C?平面?D?，?D?平面?D?，所以?C//平面?D?
（2）因为四边形??CD是长方形，所以?C?CD，因为平面?DC?平面??CD，平面?DCI平
?C?平面??CD，面??CD?CD，所以?C?平面?DC，因为?D?平面?DC，所以?C??D
（3）取CD的中点?，连结??和??，因为?D??C，所以???CD，在Rt???D中，
????D2?D?2 ?42?32?7，因为平面?DC?平面??CD，平面?DCI平面??CD?CD，???平面?DC，所以???平面??CD，由（2）知：?C?平面?DC，由（1）知：?C//?D，所以?D?平面?DC，因为?D?平面?DC，所以?D??D，设点C到平面?D?的距离为h，因为
11V三棱锥C??D??V三棱锥???CD，所以S??D??h?S??CD???，即
331?3?6?7S??CD???23737，所以点C到平面?D?的距离是 h???1S??D?22?3?42考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离. 8．（2015广东理） 如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，
点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB. AB=6，BC=3.点E是CD边的中点，
HDECGA图2FB（1）证明：PE?FG；
（2）求二面角P-AD-C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.
795；（3）． 325【解析】（1）证明：∵ PD?PC且点E为CD的中点，
∴ PE?DC，又平面PDC?平面ABCD，且平面PDCI平面ABCD?CD，PE?平面PDC， ∴ PE?平面ABCD，又FG?平面ABCD，
【答案】（1）见解析；（2）
24
∴ PE?FG；
P D E
C G A B F
（2）∵ ABCD是矩形， ∴ AD?DC，又平面PDC?平面ABCD，且平面PDCI平面ABCD?CD，AD?平面ABCD， ∴ AD?平面PCD，又CD、PD?平面PDC， ∴ AD?DC，AD?PD，
∴ ?PDC即为二面角P?AD?C的平面角，
1AB?3，PE?PD2?DE2?7， 2PE77?∴ tan?PDC?即二面角P?AD?C的正切值为； DE33（3）如下图所示，连接AC，
AFCG∵ AF?2FB，CG?2GB即??2，
FBGB∴ AC//FG，
∴ ?PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角，
在Rt?PDE中，PD?4，DE?在?PAC中，PA?PD2?AD2?5，AC?P AD2?CD2?35，
D E
C G
222 A F
B 由余弦定理可得cos?PAC?PA?AC?PC?2PA?AC52?35??2?422?5?35?95， 25∴ 直线PA与直线FG所成角的余弦值为95． 25【考点定位】本题考查直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题． 9．（2015湖北理）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马P?ABCD中，侧棱PD?底面ABCD，且PD?CD，过棱PC的中点E，作EF?PB交PB于点F，连接DE,DF,BD,BE.
（Ⅰ）证明：PB?平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
πDC（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
3BC
25