2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13 立体几何 ) 下载本文

【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)

2. 2【解析】 试题解析:(解法1)(Ⅰ)因为PD?底面ABCD,所以PD?BC, 由底面ABCD为长方形,有BC?CD,而PDICD?D, 所以BC?平面PCD. 而DE?平面PCD,所以BC?DE. 又因为PD?CD,点E是PC的中点,所以DE?PC.

而PCIBC?C,所以DE?平面PBC. 而PB?平面PBC,所以PB?DE. 又PB?EF,DEIEF?E,所以PB?平面DEF.

由DE?平面PBC,PB?平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为?DEB,?DEF,?EFB,?DFB. (Ⅱ)如图1,在面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD 的交线. 由(Ⅰ)知,PB?平面DEF,所以PB?DG.

又因为PD?底面ABCD,所以PD?DG. 而PDIPB?P,所以DG?平面PBD. 故?BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角, 设PD?DC?1,BC??,有BD?1??2, 在Rt△PDB中, 由DF?PB, 得?DPF??FDB?则 tanπ, 3πBD?tan?DPF??1??2?3, 解得??2. 3PDDC12??. 所以

BC?2DC2π?故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,. BC23(解法2)

(Ⅰ)如图2,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设

uuurPD?DC?1,BC??,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(?,1,0),C(0,1,0),PB?(?,1,?1),点E是PC的中点,

uuur1111以E(0,,),DE?(0,,),

2222uuuruuur于是PB?DE?0,即PB?DE.

又已知EF?PB,而DEIEF?E,所以PB?平面DEF. uuuruuuruuur因PC?(0,1,?1), DE?PC?0, 则DE?PC, 所以DE?平面PBC.

由DE?平面PBC,PB?平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,

即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为?DEB,?DEF,?EFB,?DFB.

26

uuur(Ⅱ)由PD?平面ABCD,所以DP?(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量;

uuur由(Ⅰ)知,PB?平面DEF,所以BP?(??,?1,1)是平面DEF的一个法向量.

π若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,

3uuuruuurπBP?DP11ruuur??, 则cos?uuu3|BP|?|DP|?2?22解得??2. 所以

DC12??. BC?2DC2π时,. ?BC23考点:1.四棱锥的性质,2.线、面垂直的性质与判定,3.二面角. 10. (2015湖北文)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P?ABCD中,侧棱PD?底面ABCD,且PD?CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为

(Ⅰ)证明:DE?平面PBC. 试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;

V(Ⅱ)记阳马P?ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求1的值.

V2【答案】(Ⅰ)因为PD?底面ABCD,所以PD?BC. 由底面ABCD为长方形,有BC?CD,而PDICD?D,所以BC?平面PCD. DE?平面PCD,所以BC?DE. 又因为PD?CD,点E是

(Ⅱ)PC的中点,所以DE?PC. 而PCIBC?C,所以DE?平面PBC.四面体EBCD是一个鳖臑;

V1?4. V2 27

【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积,属中高档题.

【名师点睛】以《九章算术》为背景,给予新定义,增添了试题的新颖性,但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算,其解题思路:第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明,第二问关键注意底面积和高之比,运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义,不仅考查学生解题能力,也增强对数学的兴趣培养,为空间立体几何注入了新的活力.

11. (2015湖南文)如图4,直三棱柱ABC?A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是

BC,CC1的中点。

(I)证明:平面AEF?平面B1BCC1;

(II)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45,求三棱锥F?AEC的体积。

o

【答案】(I)略;(II)

6 . 12【解析】 试题分析:(I)首先证明AE?BB1,AE?BC,得到AE?平面B1BCC1,利用面面垂直的判定与性质定理可得平面AEF?平面B1BCC1; (II)设AB的中点为D,证明直线?CA1D直线A1C与平面A1ABB1所成的角,由题设知?CA1D?45,求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积. 试题解析:(I)如图,因为三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱, 所以AE?BB1,又E是正三角形ABC 的边BC的中点, 所以AE?BC,因此AE?平面B1BCC1,而AE?平面AEF, 所以平面AEF?平面B1BCC1。

(II)设AB的中点为D,连接A1D,CD,因为?ABC是正三角形,所以CD?AB,又三棱柱

oABC?A1B1C1是直三棱柱,所以CD?AA1,因此CD?平面A1AB1B,于是?CA1D直线A1C与平

面A1ABB1所成的角,由题设知?CA1D?45, 所以A1D?CD?o3AB?3, 3在Rt?AA1D中,AA1?A1D2?AD2?3?1?2,所以FC?12AA1? 22故三棱锥F?AEC的体积V?11326SAEC?FC????。 332212 28

考点:柱体、椎体、台体的体积;面面垂直的判定与性质

12. (2015湖南理)如图,已知四棱台ABCD?A1B1C1D1上、下底面分别是边长为3和6的正方形,

AA1?6,且AA1?底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上.

(1)若P是DD1的中点,证明:AB1?PQ;

(2)若PQ//平面ABB1A1,二面角P?QD?A的余弦值为

3,求四面体ADPQ的体积. 7【答案】(1)详见解析;(2)24.

29

30