高数A(2) 复习大纲

1、 根据向量关系，计算投影；

??????????例1.1 设a???2,2,1?，b??，，计算1,3,?3?c??3,?4,12?d?(a?b)c?(a?c)b，并

??求d在c上的投影.

????例1.2 向量d垂直于向量a?[2,3,?1]和b?[1,?2,3]，且与c?[2,?1,1]的数量积为?6，

?则向量d=___________________

注：熟练掌握数量积，向量积的计算方法。 2、 讨论线面关系；根据线面关系，求直线方程；

x?1yz?1??与平面x?y?z?1的位置关系是( )． 21?1ππ(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为； (D) 夹角为?．

44x?1y?1z??在平面?:x?y?2z?5?0上投影直线L的方程. 例2.2 求直线L1:123例2.1 直线

例2.3 求过点M0(0,1,0)且垂直于平面3x?y?2?0的直线方程为_______________ 注：熟练掌握直线的三种表示方法之间的转化（对称，一般，参数）；优先考虑对称，直线

和平面相交考虑参数式，过直线的平面考虑平面束方程（一般式）；求平面和直线方程时优先使用向量法。

3、 判断二元函数在某一点极限是否存在；讨论和确定二元函数在某一点处可导、可微的条件；

x2y??? 例3.1 判断极限lim2x?0x?y2y?0(A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定

1?xysin?例3.2 设函数f?x,y???x2?y2?0?1?xysin?例3.3 函数f?x,y???x2?y2?0??x,y???0,0??x,y???0,0??x,y???0,0??x,y???0,0?，则函f?x,y?在?0,0?处（ ）

(A)．不连续 (B)．连续但不可微 (C)．可微 (D)．偏导数不存在

，则函f?x,y?在?0,0?处（ ）

(A).不连续 (B)．连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在

注：求极限可采用定义法，换元法结合等价无穷小，极坐标；熟悉偏导数，可微的定义以及相关性质。

4、 已知二元函数（含抽象函数），求二阶偏导数；

例4.1 设z?f?2x?y??g?x,xy?，其中f?t?二阶可导，g?u,v?具有二阶连续

?2z偏导数 有=___________________

?x?yx?z?2z例4.2 设z?f(3x?2y,)，其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求、.

y?x?x?y注：求二阶偏导数方法一定要熟练。

5、 计算三元函数的方向导数；

例5.1 求函数u?ecos(yz)在点(0,1,0)处沿方向l?{2,?1,?2}的方向导数.

x?注：方向要化为单位向量 6、 求二元函数的极值；

例6.1 下列各点中，是二元函数f?x,y??x3?y3?3x2?3y?9x的极值点的是（ ） （A） ??3,?1? （B） ?3,1? （C）??1,1?． （D）??1,?1? 注：极值充分条件要熟练；条件极值采用拉格朗日乘数法。

7、 求曲面在某一点的切平面方程；

例7.1 曲面z?e?2xy?3在点（1，2，0）处的切平面方程和法线方程。

z（1，?1，3）例7.2 求曲面z?x2?2y2在点处的切平面和法线方程.

8、二重积分的交换积分次序；二重积分的极坐标计算方法； 例8.1 交换积分次序

（1）

?dy?012?y2yf(x,y)dx （2）I??dy?yf(x,y)dx??dy?y2f(x,y)dx

21y210414例题8.2 计算二重积分 (1) (2)

2222xydxdy,D:x?y?2x,x?y?1,y?0. ??D2222(x?y)d?,D:y?2x?x,y?4?x,x?0所围. ??D注：化为极坐标时注意上下限的确定

9、三重积分计算（球面坐标或柱面坐标）；

例9.1

???1?x?12?y2dv，其中?由曲面z?x2?y2与平面z?1围成的闭区域；

例题9.2????1x2?y2?z2dv，其中?由曲面z?x2?y2、z?1确定的闭区域；

注：柱面坐标＝ 投影＋极坐标

10 求平面曲线的弧长；

例10.1 求x?arctant,y?1ln(1?t2)，自t?0至t?1的一段曲线弧的长度. 2注：利用勾股定理记忆弧微分公式

11、熟练掌握格林公式；熟练掌握高斯公式；（注意添加辅助线或辅助面情形）

例11.1

由点(0,0)到

的一段弧

,其中

为在抛物面

上

例11.2 证明下列曲线积分在整个

面内与路径无关,并计算积分值

在整个

平面内是某一函数

的全微分,并求这样的

例11.3 验证 一个 例11.4

。

33322??xdydz?ydzdx?(z?x?y)dxdy，其中?为球面z??R2?x2?y2

（R?0）的上侧.

12、 判断常数项级数的敛散性；（正项级数先考虑比值或根植，在考虑比较

判别法；交错使用莱布尼兹；一般项级数判断绝对或者条件收敛；）

例12.1 判断下列级数的敛散性：

?nn（1）4?8 （2）ln(1?1) （3）

?n8nn?1n?1n?1???11 （4） ?3n?n?1n(n?2)?（5）

?(?1)n?1?n?11?n1n （6）?(?1) (7） (?1)?2n?1nnn?1n?1n?