常微分方程模拟试题
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．
2．二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x),y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是 ．
3．方程y???2y??y?0的基本解组是 ． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．
dy?1?y2的常数解是 ． dx二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1?dy?x3?y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ） 6．方程． dx 5．方程
（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y轴外的全平面 7. 方程
dy?dxy?1（ ）奇解．
dy?f(y)解存在且唯一的（ ）条件． dx （A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 8．f(y)连续可微是保证方程
（A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．
（A）构成一个2维线性空间 （B）构成一个3维线性空间 （C）不能构成一个线性空间 （D）构成一个无限维线性空间
dy?3y3过点(0, 0)有（ B ） 10．方程． dx (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分：
2dy?ylny dxdyyy?1?()2? 12. dxxxdy 13. ?y?xy5
dx22 14．2xydx?(x?y)dy?0
3 15．y?xy??2(y?)
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
2 16．求方程y???5y???5x的通解．
11.
17．求下列方程组的通解．
1?dx?y???dtsint ?
?dy??x??dt五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．设f(x)在[0,??)上连续，且limf(x)?0，求证：方程
x??? 1
dy?y?f(x) dx的一切解y(x)，均有limy(x)?0．
x??? 19．在方程y???p(x)y??q(x)y?0中，p(x),q(x)在(??,??)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(??,??)上的严格单调函数．
常微分方程模拟试题参考答案
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）
3．e,xe 4．开 5．y??1
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每小题６分，本题共30分）
11．解： y?1为常数解 （1分）
当y?0，y?1时，分离变量取不定积分，得 通积分为
xx?dy??dx?C （3分） ylnylny?Cex （6分）
注：y?1包含在常数解中，当c?0时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。
?5 13．解： 方程两端同乘以y，得
?5dy y ?y?4?x （1分）dxdz?4?5dy 令 y?z，则?4y，代入上式，得 ?dxdx1dz ??z?x （3分）
4dx这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为
z?ce?4x （4分）
利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为 z?Ce 因此原方程通解为
?4x?x?1 （5分） 41?Ce?4x?x? （6分）
4?M?N?2x? 14．解： 因为，所以原方程是全微分方程． （2分） ?y?x 取(x0,y0)?(0,0)，原方程的通积分为
y?4
?x02xydx??y2dy?C （4分）
0y计算得
x2y?13y?C （6分） 3 15．解： 原方程是克莱洛方程，通解为
2
y?Cx?2C （6分） 四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解： 对应齐次方程的特征方程为
3?2?5??0， （1分）
特征根为
?1?0，?2?5， （2分）
齐次方程的通解为
y?C1?C2e5x （4分）
因为??0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
y21(x)?x(Ax?Bx?C) 代入原方程，比较系数确定出 A?13，B?15，C?225 原方程的通解为
y?C5x?1121?C2e3x3?5x2?25x 17．解： 齐次方程的特征方程为
??1?1????2?1?0 特征根为
???i 求得特征向量为
??1??i?? 因此齐次方程的通解为 ??x???cost??sint??y??C1??-sint???C2??cost?? 令非齐次方程特解为
??x~?~?y???C?cost??sint?1(t)??-sint???C2(t)??cost?? C??1(t),C2(t)满足
?costsint??C?? ?1(t)??1??sintcost?????C?????sint? 2(t)???0? ?解得
C?cost?1(t)?sint,C2(t)?1 积分，得
C1(t)?lnsint，C2(t)?t 通解为
??x??y???C?cost??sint??costlnsint?tsint?1??-sint???C2??cost????-sintlnsint?tcost? ?? 五、证明题（每小题10分，本题共20分）
3
（6分） （9分） （10分） （1分）
（2分）
（3分） （4分） （5分）
（6分） （8分）
（9分）
10分）
（