一类数列的求和问题

【摘 要】设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，记αn=bn，文中讨论了数列{αn}的有限项的求和问题；当{bn}满足一定条件时，{αn}的所有项的和的求解问题；设βn=αn2nn，当数列{βn}中的{bn}满足一定条件时，所有项的求和问题等。得到了一些结论，并给出了几个有关的例题。

【关键词】差比数列；通项；求和

在数学的计算当中，有时我们会遇到这样一类数列的求和问题，这种数列即非等差又非等比数列，但它的每一项可以分解为两个数（项）的乘积，这两项分别构成等差数列和等比数列。对这种数列我们先给出如下定义。

定义：设{αn}为等差数列，{bn}为等比数列，记αn= 。称数列{αn}为差比数列或一次差比数列。设βn= ，称数列{βn}为k次差比数列。

例如数列3，2q，q2，—q4，—2q5，—3q6 …为一次差比数列；而数列9，4 q，q2，q4，4q5，9q6，…为二次差比数列。

据等差数列通项公式：αn=α1+（n-1）d，等比数列通项：bn=b1qn-1，从而差比列{αn}的通项为αn=[α1+（n-1）d] b1qn-1，为便于书写我们令α1=α，b1=b。

1 求差比数列前n项的和

我们先来求差比数列的有限项的和，这时假定q=0，1设

Sn= = =

令 （1）

（1）× 得： （2）

（1）-（2）得： ∴

于是，即可得出，

（结论1）

利用等差、等比数列的通项公式将上公式可变为：

（结论1`）

例1.设某研究项目计划投入研究人员按等差数列递增，首年人数3个，每年增加2人。假定人均科研经费按几何级数增长，首年人均经费1000元，公比q=1.2，求做五年研究共需要经费多少元？

解：此题中人数成等差数列{αn}， 首项 ；人均经费成等比数列{bn}，首项 ，现欲求 。由上结论1可得

（元）

答：五年研究共需要经费大相去甚远 57441.6元。

例2.某射手每射中目标的概率是p（0

解：设X表示转移前的射击次数，由概率知识可得X的概率分布为 ， ； ，

这里， ， ， 。由结论1或1`得：

答：他在转移前平均射击 次。

2、差比数列所有项的和

这时需假定等比数列的公比q满足条件，并记S为差比数列所有项的和。则

其中

（3） ∴

注：D的求和亦可用1中求V的和的方法来实现。

例3.设随机便量ξ服从几何分布：

ξ 求ξ的数学期望

解：据期望的定义有Eξ= ，此和式实际上是一个特殊的差比数列的和，即上面的D，所以Eξ=

3、二次差比数列所有項的和

设βn= ，这里，

所以

该和式中第一和 为一无穷递缩等比数列所有项的和：

；式中第二项即为上面讨论过的差比数列的和D。现在主要来第三个和式的结果。

令 （4）

则 （5）

（4）-（5）得： ∴

将C、D、E的结果代入 中，计算出结果：

例4.设随机变量ξ服从几何分布同例3，求ξ的方差。

解：在例3中已求得Eξ= 。要求得Dξ，还需求出Eξ2。

Eξ2= ，这是一个二次方差等比数列所有项求和问题，用上面（4）式计算结果，

∴Eξ=

∴Dξ= Eξ2-E2ξ=