椭圆

【考纲要求】

1.了解椭圆图形的实际背景及形成过程；

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 3.掌握椭圆的简单应用；

4.理解解析几何中数形结合思想的运用. 【知识网络】

椭圆的实际背景及定义

椭圆

标准方程及简单性质 数形结合思想

【考点梳理】

考点一、椭圆的定义

F2的距离之和等于常数(PF平面内一个动点P到两个定点F1、这个动点P1?PF2?2a?F1F2)，

的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

要点诠释：

（1）若PF1?PF2?FFF1?PF2?FF1F2；若P12，则动点P的轨迹为线段F12，则动点P的轨迹无图形.

（2）确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

考点二、椭圆的标准方程

x2y2（1）当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：2?2?1(a?b?0)，其中c2?a2?b2；

aby2x2（2）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：2?2?1(a?b?0)，其中c2?a2?b2；

ab要点诠释：

（1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有a?b?0和c2?a2?b2；

（3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(?c,0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,?c).

考点三、椭圆的简单几何性质

1

x2y2椭圆2?2?1(a?b?0)的的简单几何性质

ab（1）范围：{x?a?x?a}，{y?b?y?b}，

（2）焦点(?c,0)，顶点(?a,0)、(0,?b)，长轴长=2a，短轴长=2b，焦距＝2c， （3）离心率是e?c且0?e?1； ay2x2椭圆2?2?1(a?b?0)的的简单几何性质

ab（1）范围：{y?a?y?a}，{x?b?x?b}，

（2）焦点(0,?c)，顶点(0,?a)、(?b,0)，长轴长=2a，短轴长=2b，焦距＝2c， （3）离心率是e?c且0?e?1. a考点四、椭圆图像中线段的几何特征

x2y2椭圆2?2?1的图像如图所示

ab

2a2|PF1||PF2|??e，|PM1|?|PM2|?（1）PF； 1?PF2?2a，

|PM1||PM2|c（2）BF1B?1?BF2?a，OF1?OF2?c，A2B?Aa2?b2；

（3）A1?a?c； 1F1?A2F2?a?c,A1F2?A2F1?a?c，a?c?PF（4）?PF1F2中常利用余弦定理、三角形面积公式： ．．．．．．．．．．．．

S?PF1F2??FPF1PF1?PF2sin?F1PF?b2tan12， 22将有关线段PF有关角?F1PF2(?F1PF2??F1BF2)结合起来，建立PF1、PF2、F1F2，1?PF2、

PF1?PF2的关系.

x2y2y2x2考点五、椭圆2?2?1与2?2?1（a＞b＞0）的区别和联系

abab2

标准方程 x2y2?2?1(a?b?0) 2abx2y2?2?1(a?b?0) 2ba图形 焦点 焦距 范围 对称性 性质 顶点 轴 离心率 F1(?c,0)，F2(c,0) F1(0,?c)，F2(0,c) |F1F2|?2c(c?a2?b2) |x|?a，|y|?b |F1F2|?2c(c?a2?b2) |x|?b，|y|?a 关于x轴、y轴和原点对称 (?a,0)，(0,?b) (0,?a)，(?b,0) 长轴长=2a，短轴长=2b e?c(0?e?1) a准线方程* a2x?? c|PF1|?a?ex，|PF2|?a?ex a2y?? c|PF1|?a?ey，|PF2|?a?ey 焦半径*

要点诠释：

x2y2y2x2椭圆2?2?1，2?2?1（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b

abab＞0和e?c(0?e?1)，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。 a【典型例题】

类型一：求椭圆的标准方程

例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点(?,)。 【思路点拨】结合椭圆的标准方程，用待定系数法。

3522x2y2【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为2?2?1(a?b?0)。

ab3