第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

一、选择题

1．(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，

2

kxPF⊥x轴，则k＝( )

1

A. 23C. 2

2

B．1 D．2

解析：因为抛物线方程是y＝4x，所以F(1，0)．

又因为PF⊥x轴，所以P(1，2)，把P点坐标代入曲线方程y＝(k＞0)，即＝2，所以

x1

kkk＝2.

答案：D

x22

2．(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线2－y＝1的离心率的取值范围是( )(导学号

a55410127)

A．(2，＋∞) C．(1，2)

2

B．(2，2) D．(1，2)

c2a2＋111

解析：由题意e＝2＝2＝1＋2，因为a＞1，所以1＜1＋2＜2，因此离心率e∈(1，

aaaa2)． 答案：C

3．(2017·长沙一模)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )

A.＋＝1

22C.＋＝1 42

x2y2

B.＋y＝1 2D.＋＝1 42

x2

2

x2y2y2x2

解析：由题设知b＝c＝2，a＝2， 所以椭圆的标准方程为＋＝1.

42答案：C

4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M2

x2y2

1

在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )(导学号 55410128)

A.5 C．23

B．22 D．33

1

解析：由题知MF：y＝3(x－1)，与抛物线y2＝4x联立得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，

3

x2＝3，所以M(3，23)．

因为MN⊥l，所以N(－1，23)． 又F(1，0)，所以直线NF的方程为

y＝－3(x－1)．

|3（3－1）＋23|

故点M到直线NF的距离是＝23. 22

（－3）＋1答案：C

x2y2

5．(2017·新乡模拟)已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴

ab→→→

上的一个顶点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若BA＝2AF，且|BF|＝4，则双曲线C的方程为( )

A.－＝1 65C.－＝1 84

x2y2x2y2

B.－＝1 812D.－＝1 46

x2y2

x2y2

解析：设A(x，y)，因为右焦点为F(c，0)，点B(0，b)，线段BF与双曲线C的右支交→→

于点A，且BA＝2AF，

2cb所以x＝，y＝，

33

4c1

代入双曲线方程，得2－＝1，

9a9所以b＝

6a. 2

2

→

22

因为|BF|＝4，所以c＋b＝16，所以a＝2，b＝6， 所以双曲线C的方程为－＝1.

46答案：D 二、填空题

2

x2y2

y2

6．(2017·北京卷)若双曲线x－＝1的离心率为3，则实数m＝________．(导学号

m2

55410129)

1＋m2

解析：由题意知＝e＝3，则m＝2.

1答案：2

7．(2017·邯郸质检)已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q→→

是直线PF与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|等于________．

→→

解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP＝4FQ，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4. 又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ|′＝3. 答案：3

8．(2017·潍坊三模)已知抛物线y＝2px(p＞0)上的一点M(1，t)(t＞0)到焦点的距离

2

2

x2y2

为5，双曲线2－＝1(a＞0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数

a9a的值为________．

解析：由题设1＋＝5，所以p＝8.

2不妨设点M在x轴上方，则M(1，4)，

43

由于双曲线的左顶点A(－a，0)，且AM平行一条渐近线，所以＝，则a＝3.

1＋aa答案：3 三、解答题

px2y22

9．(2017·佛山一中调研)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为

ab2F(1，0)．(导学号 55410130)

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．

??1＝2，

解：(1) 依题意可得?a2解得a＝2，b＝1.

??a2＝b2＋1，

所以椭圆E的标准方程为＋y＝1.

2(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意；

3

x2

2

②当MN不垂直于x轴时， 设直线l的方程为y＝k(x－1)．

x??＋y2＝1，

联立得方程组?2

??y＝k（x－1），

消去y整理得(1＋2k)x－4kx＋2(k－1)＝0， 4k2（k－1）

所以x1＋x2＝. 2，x1·x2＝2

1＋2k1＋2k－k所以y1·y2＝k[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝2.

1＋2k2

2

2

2

2

2

2

2

2

→→

因为OM⊥ON，所以OM·ON＝0.

k2－2

所以x1·x2＋y1·y2＝2＝0，

1＋2k所以k＝±2.

故直线l的方程为y＝±2(x－1)．

10．(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为

3. 2

(1)求椭圆C的方程；

(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

x2y2

(1)解：设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，

aba＝2，??

由题意得?c3解得c＝3，

＝，??a2

所以b＝a－c＝1，

所以椭圆C的方程为＋y＝1.

4

(2)设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n)， 由题设知m≠±2，且n≠0. 直线AM的斜率kAM＝

2

2

2

x2

2

nm＋2

，

故直线DE的斜率kDE＝－

m＋2

， n 4