北京航空航天大学

《数值分析》计算实习报告

第一大题

学 院：自动化科学与电气工程学院 专 业： 控制科学与工程 学 生 姓 名： 学 号： 教 师： 电 话： 完 成 日 期： 2015年11月6日

北京航空航天大学

Beijing University of Aeronautics and Astronautics

实习题目：

第一题 设有501?501的实对称矩阵A，

?a1bc??b??????A??c???c?

?????b???cba501???其中，ai?(1.64?0.024i)sin(0.2i)?0.64e(i?1,2,???,501),b?0.16,c??0.064。矩阵A的特征值为?i(i?1,2,???,501)，并且有

0.1i?1??2??????501,|?s|?min|?i|

1?i?5011.求?1，?501和?s的值。 2.求A的与数?k??1?k?501??140最接近的特征值?ik(k?1,2,???,39)。

3.求A的(谱范数)条件数cond(A)2和行列式detA。

说明：

1.在所用的算法中，凡是要给出精度水平?的，都取??10-12。 2.选择算法时，应使矩阵A的所有零元素都不储存。 3.打印以下内容： （1）全部源程序；

（2）特征值?1，?501，?s,?ik(k?1,2,...,39以及cond(A)2,detA的值。 ）4.采用e型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。

一、算法设计方案

1、求?1，?501和?s的值。

由于?1??2??????501,|?s|?min|?i|，可知绝对值最大特征值必为?1和?5011?i?501其中之一，故可用幂法求出绝对值最大的特征值?，如果?=0，则?1=?，否则

?501=?。将矩阵A进行一下平移：

A'?A-?I （1）

对A'用幂法求出其绝对值最大的特征值?'，则A的另一端点特征值?1或?501为?'+?。

?s为按模最小特征值，|?s|?min|?i|，可对A使用反幂法求得。

1?i?5012、求A的与数?k??1?k?501??140最接近的特征值?ik(k?1,2,...,39)。

计算?i(i=1,2,...,501)-?k，其模值最小的值对应的特征值?k与?k最接近。因此对A进行平移变换：

Ak?A-?kI（k?1,2,?,39) （2）

对Ak用反幂法求得其模最小的特征值?k'，则?k=?k'+?k。 3、求A的(谱范数)条件数cond(A)2和行列式detA。

由矩阵A为非奇异对称矩阵可得：

cond(A)2?|?max|?min （3）

其中?max为按模最大特征值，?min为按模最小特征值，通过第一问我们求得的?和?s可以很容易求得A的条件数。

在进行反幂法求解时，要对A进行LU分解得到。因L为单位下三角阵，行

列式为1，U为上三角阵，行列式为主对角线乘积，所以A的行列式等于U的行列式，为U的主对角线的乘积。