习题一

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习题一

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：

（1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A表示“点数之和为7”；

（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”；

（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A表示“寿命在2 000到2 500小时之间”.

2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面. （1）试写出该试验的样本空间；

（2）试写出下列事件所包含的样本点：A={至少出现一个正面}，B={出现一正、二反}，C={出现不多于一个正面}；

（3）如记Ai={第i枚硬币出现正面}（i=1，2，3），试用A1,A2,A3表示事件A，B，C. 3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

（1）A?B；（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）AC；（6）B?C；（7）A?C. 3??1??14. 在区间[0,2]上任取一数，记A??x?x?1?，B??x?x??，求下列事件的表

2??2??4达式：（1）A?B；（2）AB；（3）AB，（4）A?B.

5. 用事件A，B，C的运算关系式表示下列事件：

（1）A出现，B，C都不出现； （2）A，B都出现，C不出现； （3）所有三个事件都出现；

（4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现； （7）不多于二个事件出现；

（8）三个事件中至少有二个出现.

6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，试用Ai的运算表示下列各个事件：

（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品； （2）只有第一次抽到废品； （3）三次都抽到废品；

（4）至少有一次抽到合格品； （5）只有两次抽到废品.

7. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}（i＝1，2，3），试用A1,A2,A3表示下述事件：

（1）A={前两次至少有一次击中目标}；

（2）B={三次射击恰好命中两次}；

2 工程数学 概率统计简明教程（第二版）

（3）C={三次射击至少命中两次}； （4）D={三次射击都未命中}.

8. 盒中放有a个白球b个黑球，从中有放回地抽取r次（每次抽一个，记录其颜色，然后放回盒中，再进行下一次抽取）.记Ai={第i次抽到白球}（i＝1，2，?，r），试用{Ai}表示下述事件：

（1）A={首个白球出现在第k次}； （2）B={抽到的r个球同色}，

其中1?k?r.

*9. 试说明什么情况下，下列事件的关系式成立： （1）ABC=A；（2）A?B?C?A.

习题二

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习题二

1. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率.

2. 一口袋中有5个红球及2个白球.从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球.设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同.求：

（1）第一次、第二次都取到红球的概率；

（2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率； （3）两次取得的球为红、白各一的概率； （4）第二次取到红球的概率.

3. 一个口袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个口袋中取2只球，试求： （1）最小号码是3的概率；（2）最大号码是3的概率.

4. 一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：

（1）2只都是合格品；

（2）1只是合格品，一只是不合格品； （3）至少有1只是合格品.

5. 从某一装配线上生产的产品中选择10件产品来检查.假定选到有缺陷的和无缺陷的产品是等可能发生的，求至少观测到一件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释得到的上述概率结果.

6. 某人去银行取钱，可是他忘记密码的最后一位是哪个数字，他尝试从0～9这10个数字中随机地选一个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率.

7. 掷两颗骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为7；（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数.

8. 把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住在不同宿舍的概率.

9. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率： （1）事件A={其中恰有一位精通英语}； （2）事件B={其中恰有两位精通英语}； （3）事件C={其中有人精通英语}.

10. 甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，现从两个袋中各取一球，求两球颜色相同的概率.

11. 有一轮盘游戏，是在一个划分为10等份弧长的圆轮上旋转一个球，这些弧上依次标着0～9十个数字.球停止在那段弧对应的数字就是一轮游戏的结果.数字按下面的方式涂色：0看作非奇非偶涂为绿色，奇数涂为红色，偶数涂为黑色.事件A={结果为奇数}，事件B={结果为涂黑色的数}.求以下事件的概率：

（1）P(A)；（2）P(B)；（3）P(A?B)；（4）P(AB).

12. 设一质点一定落在xOy平面内由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成正比，计算这质点落在直线x=

1的左边的概率. 313. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 h，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.

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14. 已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，求：

（1）P(A),P(B)；（2）P(A?B)；（3）P(AB)；（4）P(BA),P(AB)；（5）P(AB). 15. 设A，B是两个事件，已知P（A）=0.5，P（B）=0.7，P(A?B)=0.8，试求：P（A-B）与P（B-A）.

*16. 盒中装有标号为1~r的r个球，今随机地抽取n个，记录其标号后放回盒中；然后再进行第二次抽取，但此时抽取m个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k个标号相同的概率.

习题三

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习题三

1. 已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率

P(BA)?0.8，试求P(AB)及P(AB).

2. 一批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.

3. 某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.

（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ （2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

4. 罐中有m个白球，n个黑球，从中随机抽取一个，若不是白球则放回盒中，再随机抽取下一个；若是白球，则不放回，直接进行第二次抽取，求第二次取得黑球的概率.

5. 一个食品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的6种类型:

保质期内 保质期后 擦伤 18％ 12％ 投诉原因 凹痕 13％ 22％ 外观 32％ 3％ 如果收到一个消费者的投诉，已知投诉发生在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.

6. 给定P(A)?0.5，P(B)?0.3，P(AB)?0.15，验证下面四个等式：

P(AB)?P(A)；P(AB)?P(A)；P(BA)?P(B)；P(BA)?P(B).

7. 已知甲袋中装有6只红球，4只白球，乙袋中装有8只红球，6只白球.求下列事件的概率：（1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球；（2）合并两只口袋，从中随机地取1只球，该球是红球.

8. 设某一工厂有A，B，C三间车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的25％、35％、40％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为5％、4％、2％.如果从全厂总产品中抽取一件产品，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间A，B，C生产的概率.

9. 某次大型体育运动会有1 000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品.在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有5人检验结果显示阳性.如果一个运动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使用违禁药品的概率.

10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”.同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“*”.求：（1）收报台收到信号“*”的概率；（2）当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率.

*11. 甲袋中有4个白球6个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.先从甲袋中任取2球投入乙袋，然后再从乙袋中任取2球，求从乙袋中取到的2个都是黑球的概率.

12. 设事件A,B相互独立.证明：A,B相互独立，A,B相互独立.