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习题八

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习题八

1. 设X1,?,X6是来自服从参数为?的泊松分布?(?)的样本,试写出样本的联合分布律.

2. 设X1,?,X6是来自(0,?)上均匀分布的样本,??0未知. (1)写出样本的联合密度函数;

(2)指出下列样本函数中哪些是统计量,哪些不是?为什么?

T1?X1???X6,T2?X6??,T3?X6?E(X1),T4?max(X1,?,X6)

6(3)如样本的一组观察是:0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值,样本方差和标准差.

3. 某一马拉松比赛中前30名运动员成绩如下(单位:min):

129,130,130,133,134,135,136,136,138,138,138,141,141,141,142, 142,142,142,143,143,143,143,143,144,144,145,145,145,145,145, (1)计算该30名运动员成绩的均值和样本标准差; (2)计算这组成绩的样本中位数.

4. 为研究训练水平与心脏血液输出量之间的关系,随机抽取20人,并将他们随机分成四组,每组一个训练水平,训练15分钟后,测量他们的心脏血液输出量(单位:mL/min),结果如下:

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 训练水平 x 0 0 0 0 0 300 300 300 300 300 心脏血液输出量y 4.4 5.6 5.2 5.4 4.4 9.1 8.6 8.5 9.3 9.0 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 训练水平 x 600 600 600 600 600 900 900 900 900 900 心脏血液输出量y 12.8 13.4 13.2 12.6 13.2 17.0 17.3 16.5 16.8 17.2 试计算样本相关系数,并由此解释训练水平与心脏血液输出量之间的相关关系.

225. 查表求?0.99(12),?0.01(12),t0.99(12),t0.01(12).

6. 设随机变量T~t(10),求常数c使P(T?c)?0.95. 7. 设X1,?,Xn是来自正态总体N(0,?)的样本,试证: (1)

21?2?Xi?1n2i~?2(n);

21?n?(2)2??Xi?~?2(1).

n??i?1?22

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8. 设X1,?,X5是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个Xi(i?1,2,?,5)都服从N(0,1).

(1)试给出常数c,使得c(X1?X2)服从?分布,并指出它的自由度; (2)试给出常数d,使得d222X1?X2X?X?X232425服从t分布,并指出它的自由度;

2X12?X2(3)试给出常数k,使得k2服从F分布,并指出它的自由度. 2X3?X4?X529. 设(X1,X2,?,Xn)是取自总体X的一个样本,在下列三种情况下,分别求E(X),

D(X),E(S2):

(1)X~B(1,p);(2)X~E(?);(3)X~R(0,2?),其中??0.

*10. 某市有100 000个年满18岁的居民,他们中10%年收入超过15万,20%受过高

等教育.今从中抽取1 600人的随机样本,求:(1)样本中不少于11%的人年收入超过15万的概率;(2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率.

习题九

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习题九

1. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本,在下列情形下,试求总体参数的矩估计与最大似然估计:

(1)X~B(1,p),其中p未知,0?p?1; (2)X~E(?),其中?未知,??0.

2. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本,其中X服从参数为?的泊松分布,其中?未知,??0,求?的矩估计与最大似然估计.如得到一组样本观测值:

X 0 1 2 3 4 20 10 2 1 频数 17 求?的矩估计值与最大似然估计值.

3. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本,其中X服从区间(0,?)上的均匀分布,其中??0未知,求?的矩估计.

?2x?,0?x??,4. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本,X的密度函数为f(x)???2其

?其他,?0,中?未知,??0,求?的矩估计与最大似然估计值.

?(??1)x?,0?x?1,5. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本,X的密度函数为f(x)??0,其他,?其中?未知,??0,求?的矩估计和最大似然估计.

6. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本,总体X服从参数为p的几何分布,即

P(X?x)?p(1?p)x?1(x?1,2,3,?),其中p未知,0?p?1,求p的最大似然估计.

7. 已知某路口车辆经过的间隔时间服从指数分布E(?),其中??0未知,现在观测到六个间隔时间数据(单位:s):

1.8,3.2,4,8,4.5,2.5

试求该路口车辆经过的平均间隔时间的矩估计值与最大似然估计值.

1??8. 总体X的密度函数为f(x,?)?其中??0未知,设X1,?,Xne(???x???),

2??. 是取自这个总体的一个样本,试求?的最大似然估计?*9. 帕雷托(Pareto)分布在计量经济中常常用到,它有密度函数

????1??C0x,x?C0,f(x,?)??C0?0是给定的.设X1,?,Xn是取其中??1为未知参数,

0,x?C0,?x自帕雷托分布的随机样本,求?的矩估计和最大似然估计.

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*10. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本,X的密度函数为

?xe?x/??f(x)???2?0,?x>0其他,?和最大似然估计??,并进一步,其中??0未知.求?的矩估计?21求解估计量的均值和方差.

11. 在第3题中?的矩估计是否是?的无偏估计?

12. 试证第8题中?的最大似然估计是?的无偏估计. 13. 设

?是一个未知的分布参数,?????(X1,?,Xn)是?的估计量,定义

?,?)MSE(??E?(???2)为估计量??的均方误差,证明:

???,?)?E((????)2)?D(??)?(E(??)??)2. MSE(??)表示估计量??相对于中心位置E(??)的分散程度,(E(??)??)2则是估计的偏差平其中,D(?方,偏差和分散程度正是描述一个估计量表现的两个重要度量.

14. 设X1,X2,X3为总体X的样本,证明:

?1??111X1?X2?X3, 632212?2?X1?X2?X3 ?5552都是总体均值?的无偏估计,并进一步判断哪一个估计较有效.

?15. 设X1,?,Xn是取自总体X~N(0,1n2??2是?2的相合估计. 2???xi,试证:?ni?1)的一个样本,其中?2?0未知.令

习题十

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习题十

1. 某车间生产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径X(单位:mm)服从正态分布

N(?,0.22).从某天生产的产品中随机抽取6个,量得直径如下:

14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1

求?的双侧0.90置信区间和双侧0.99置信区间.

2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布N(?,?),?未知.为了决定商店对该商品的进货量,需对?和?作估计,为此随机抽取若干月,其销售量分别为:64,57,49,81,76,70,59,试求?的双侧0.95置信区间和方差?2的双侧0.90置信区间.

3. 随机地取某种子弹9发作试验,测得子弹速度的s*?11,设子弹速度服从正态分布

2N(?,?2),求这种子弹速度的标准差?和方差?2的双侧0.95置信区间.

4. 已知某炼铁厂的铁水含碳量(单位:%)正常情况下服从正态分布N(?,?),且标准差??0未知.现测量五炉铁水,其含碳量分别是:

4.28,4.40,4.42,4.35,4.37,

试求未知参数?的置信水平为0.95的置信下限和置信上限.

5. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布N(?,?).现抽查了25天,得

22x?170元,s?30元,求职工每天医疗费均值?的双侧0.95置信区间.

6. 一个容量为n=16的随机样本来自?和?未知的正态分布总体,已知样本均值

x?27.9和标准差s?3.23,求?的双侧0.95置信区间.

*7. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本,其中X服从参数为?的指数分布,其中?未知,??0,求参数?的双侧1??的置信区间.

(提示:取枢轴函数2?nX,可以证明2?nX~?(2n).)

*8. 化工厂经常用不锈钢处理腐蚀性液体,但是,这些不锈钢在某种特别环境下受到应力腐蚀断裂.发生在某炼油厂和化学制品厂的295个不锈钢钢失效样本中,有118个是由于应力腐蚀断裂的,求由应力腐蚀断裂引起的不锈钢钢失效比率真值的置信水平为95%的置信区间.

(提示:可用中心极限定理构造枢轴函数.)

9. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线.设罐头重量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响.从甲生产线抽取10只罐头,测得其平均重量x?501 g,已知其总体标准差?1?5 g;从乙生产线抽取20只罐头测得其平均重量y?498 g,已知其总体标准差?2?4 g.求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头重量的均值差的?1??2的双侧

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