习题八

21

习题八

1. 设X1,?,X6是来自服从参数为?的泊松分布?(?)的样本，试写出样本的联合分布律.

2. 设X1,?,X6是来自(0,?)上均匀分布的样本，??0未知. （1）写出样本的联合密度函数；

（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？

T1?X1???X6，T2?X6??，T3?X6?E(X1)，T4?max(X1,?,X6)

6（3）如样本的一组观察是：0.5，1，0.7，0.6，1，1，写出样本均值，样本方差和标准差.

3. 某一马拉松比赛中前30名运动员成绩如下（单位：min）：

129，130，130，133，134，135，136，136，138，138，138，141，141，141，142， 142，142，142，143，143，143，143，143，144，144，145，145，145，145，145， （1）计算该30名运动员成绩的均值和样本标准差； （2）计算这组成绩的样本中位数.

4. 为研究训练水平与心脏血液输出量之间的关系，随机抽取20人，并将他们随机分成四组，每组一个训练水平，训练15分钟后，测量他们的心脏血液输出量（单位：mL/min），结果如下：

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 训练水平 x 0 0 0 0 0 300 300 300 300 300 心脏血液输出量y 4.4 5.6 5.2 5.4 4.4 9.1 8.6 8.5 9.3 9.0 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 训练水平 x 600 600 600 600 600 900 900 900 900 900 心脏血液输出量y 12.8 13.4 13.2 12.6 13.2 17.0 17.3 16.5 16.8 17.2 试计算样本相关系数，并由此解释训练水平与心脏血液输出量之间的相关关系.

225. 查表求?0.99(12)，?0.01(12)，t0.99(12)，t0.01(12).

6. 设随机变量T~t(10)，求常数c使P(T?c)?0.95. 7. 设X1,?,Xn是来自正态总体N(0,?)的样本，试证： （1）

21?2?Xi?1n2i~?2(n)；

21?n?（2）2??Xi?~?2(1).

n??i?1?22

工程数学 概率统计简明教程（第二版）

8. 设X1,?,X5是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个Xi（i?1,2,?,5）都服从N(0,1).

（1）试给出常数c，使得c(X1?X2)服从?分布，并指出它的自由度； （2）试给出常数d，使得d222X1?X2X?X?X232425服从t分布，并指出它的自由度；

2X12?X2（3）试给出常数k，使得k2服从F分布，并指出它的自由度. 2X3?X4?X529. 设(X1,X2,?,Xn)是取自总体X的一个样本，在下列三种情况下，分别求E(X)，

D(X)，E(S2)：

（1）X~B(1,p)；（2）X~E(?)；（3）X~R(0,2?),其中??0.

*10. 某市有100 000个年满18岁的居民，他们中10％年收入超过15万，20％受过高

等教育.今从中抽取1 600人的随机样本，求:（1）样本中不少于11％的人年收入超过15万的概率；（2）样本中19％和21％之间的人受过高等教育的概率.

习题九

23

习题九

1. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：

（1）X~B(1,p)，其中p未知，0?p?1； （2）X~E(?)，其中?未知，??0.

2. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为?的泊松分布，其中?未知，??0，求?的矩估计与最大似然估计.如得到一组样本观测值：

X 0 1 2 3 4 20 10 2 1 频数 17 求?的矩估计值与最大似然估计值.

3. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从区间(0,?)上的均匀分布，其中??0未知，求?的矩估计.

?2x?,0?x??,4. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为f(x)???2其

?其他,?0,中?未知，??0，求?的矩估计与最大似然估计值.

?(??1)x?,0?x?1,5. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为f(x)??0,其他,?其中?未知，??0，求?的矩估计和最大似然估计.

6. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为p的几何分布，即

P(X?x)?p(1?p)x?1(x?1,2,3,?)，其中p未知，0?p?1，求p的最大似然估计.

7. 已知某路口车辆经过的间隔时间服从指数分布E(?)，其中??0未知，现在观测到六个间隔时间数据（单位：s）：

1.8，3.2，4，8，4.5，2.5

试求该路口车辆经过的平均间隔时间的矩估计值与最大似然估计值.

1??8. 总体X的密度函数为f(x,?)?其中??0未知，设X1,?,Xne(???x???)，

2??. 是取自这个总体的一个样本，试求?的最大似然估计?*9. 帕雷托（Pareto）分布在计量经济中常常用到，它有密度函数

????1??C0x,x?C0,f(x,?)??C0?0是给定的.设X1,?,Xn是取其中??1为未知参数，

0,x?C0,?x自帕雷托分布的随机样本，求?的矩估计和最大似然估计.

24

工程数学 概率统计简明教程（第二版）

*10. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

?xe?x/??f(x)???2?0,?x>0其他,?和最大似然估计??，并进一步，其中??0未知.求?的矩估计?21求解估计量的均值和方差.

11. 在第3题中?的矩估计是否是?的无偏估计？

12. 试证第8题中?的最大似然估计是?的无偏估计. 13. 设

?是一个未知的分布参数，?????(X1,?,Xn)是?的估计量，定义

?,?)MSE(??E?(???2)为估计量??的均方误差，证明：

???,?)?E((????)2)?D(??)?(E(??)??)2. MSE(??)表示估计量??相对于中心位置E(??)的分散程度，(E(??)??)2则是估计的偏差平其中,D(?方，偏差和分散程度正是描述一个估计量表现的两个重要度量.

14. 设X1,X2,X3为总体X的样本，证明:

?1??111X1?X2?X3， 632212?2?X1?X2?X3 ?5552都是总体均值?的无偏估计，并进一步判断哪一个估计较有效.

?15. 设X1,?,Xn是取自总体X~N(0,1n2??2是?2的相合估计. 2???xi，试证：?ni?1)的一个样本，其中?2?0未知.令

习题十

25

习题十

1. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X（单位：mm）服从正态分布

N(?,0.22).从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下：

14.7，15.0，14.9，14.8，15.2，15.1

求?的双侧0.90置信区间和双侧0.99置信区间.

2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布N(?,?)，?未知.为了决定商店对该商品的进货量，需对?和?作估计，为此随机抽取若干月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求?的双侧0.95置信区间和方差?2的双侧0.90置信区间.

3. 随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的s*?11，设子弹速度服从正态分布

2N(?,?2)，求这种子弹速度的标准差?和方差?2的双侧0.95置信区间.

4. 已知某炼铁厂的铁水含碳量（单位：％）正常情况下服从正态分布N(?,?)，且标准差??0未知.现测量五炉铁水，其含碳量分别是：

4.28，4.40，4.42，4.35，4.37，

试求未知参数?的置信水平为0.95的置信下限和置信上限.

5. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布N(?,?).现抽查了25天，得

22x?170元，s?30元，求职工每天医疗费均值?的双侧0.95置信区间.

6. 一个容量为n=16的随机样本来自?和?未知的正态分布总体，已知样本均值

x?27.9和标准差s?3.23，求?的双侧0.95置信区间.

*7. 设X1,?,Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为?的指数分布，其中?未知，??0，求参数?的双侧1??的置信区间.

（提示：取枢轴函数2?nX，可以证明2?nX~?(2n).）

*8. 化工厂经常用不锈钢处理腐蚀性液体，但是，这些不锈钢在某种特别环境下受到应力腐蚀断裂.发生在某炼油厂和化学制品厂的295个不锈钢钢失效样本中，有118个是由于应力腐蚀断裂的，求由应力腐蚀断裂引起的不锈钢钢失效比率真值的置信水平为95%的置信区间.

（提示：可用中心极限定理构造枢轴函数.）

9. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线.设罐头重量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响.从甲生产线抽取10只罐头，测得其平均重量x?501 g，已知其总体标准差?1?5 g；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均重量y?498 g，已知其总体标准差?2?4 g.求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头重量的均值差的?1??2的双侧

2