高等数学公式篇
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
导数公式：
(tgx)??sec2x(ctgx)???csc2x(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna(logax)??基本积分
(arcsinx)??11xlna1?x21(arccosx)???1?x21(arctgx)??1?x21(arcctgx)???1?x2?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2ndx2?cos2x??secxdx?tgx?Cdx2?sin2x??cscxdx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?2In??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2n???x2a22x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C22x2a2222x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C22x2a2x222精选 a?xdx?a?x?arcsin?C22a22·倍角公式：
sin2??2sin?cos?cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?ctg2??1ctg2??2ctg?2tg?tg2??1?tg2?
·半角公式：
sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?3tg??tg3?tg3??1?3tg2?sintg?2????1?cos??1?cos? cos??2221?cos?1?cos?sin??1?cos?1?cos?sin??? ctg????1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos?abc???2R ·余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC sinAsinBsinC?2
·正弦定理：
·反三角函数性质：arcsinx??2?arccosx arctgx??2?arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
(uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuvk?0n?u(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)uv?????uv???uv(n)2!k!
定积分的近似计算：
b矩形法：?f(x)?abb?a(y0?y1???yn?1)nb?a1[(y0?yn)?y1???yn?1]n2b?a[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]3n
梯形法：?f(x)?ab抛物线法：?f(x)?a定积分应用相关公式：
精选
功：W?F?s水压力：F?p?Amm引力：F?k122,k为引力系数
rb1函数的平均值：y?f(x)dxb?a?a12均方根：f(t)dt?b?aa空间解析几何和向量代数：
b空间2点的距离：d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量在轴上的投影：PrjuAB?AB?cos?,?是AB与u轴的夹角。????Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos??i???c?a?b?axbxjaybyaxbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz222222k??????az,c?a?bsin?.例：线速度：v?w?r.bzaybycyaz???bz?a?b?ccos?,?为锐角时， czax??????向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?bxcx代表平行六面体的体积。精选
?1、点法式：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0xyz3、截距世方程：???1abc平面外任意一点到该平面的距离：d?Ax0?By0?Cz0?DA2?B2?C2平面的方程：?x?x0?mtx?xy?y0z?z0??空间直线的方程：0???t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y0?ntmnp?z?z?pt0?二次曲面：x2y2z21、椭球面：2?2?2?1abcx2y22、抛物面：??z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2?2?2?1abcx2y2z2双叶双曲面：2?2?2?（马鞍面）1abc
多元函数微分法及应用
全微分：dz??z?z?u?u?udx?dy du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元复合函数的求导法：dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)] ???? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)] ? ????x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，?u?u?v?vdu?dx?dy dv?dx?dy ?x?y?x?y隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y??隐函数F(x,y)?0， ??， 2?(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyF?z?z隐函数F(x,y,z)?0， ??x， ???xFz?yFz精选
?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)?u隐函数方程组： J????GG(x,y,u,v)?0?(u,v)??u?u1?(F,G)?v1?(F,G)??? ????xJ?(x,v)?xJ?(u,x)?u1?(F,G)?v1?(F,G)??? ????yJ?(y,v)?yJ?(u,y)微分法在几何上的应用：
?F?v?Fu?GGu?vFvGv
?x??(t)x?xy?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0?????(t)?(t)??(t0)00?z??(t)?在点M处的法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0??FyFzFzFxFx?F(x,y,z)?0若空间曲线方程为：,则切向量T?{,,?GGGxGGG(x,y,z)?0?yzzx?曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x?x0y?y0z?z03、过此点的法线方程：??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：
FyGy}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0?f?f?f函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cos??sin??l?x?y其中?为x轴到方向l的转角。?f??f?i?j?x?y
???f??它与方向导数的关系是：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l单位向量。?f?是gradf(x,y)在l上的投影。?l函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?多元函数的极值及其求法：
精选