第13讲 一元二次不等式
课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角
A级——高考保分练
1．不等式－x－3x＋4≤0的解集为________．
解析：由－x－3x＋4≤0得x＋3x－4≥0，即(x＋4)(x－1)≥0，∴x≥1或x≤－4. 答案：(－∞，－4]∪[1，＋∞) 2．函数f(x)＝
ln
2
2
2
2
1
的定义域是________．
－x＋4x－3
2
2
2
解析：由题意得－x＋4x－3＞0，即x－4x＋3＜0，所以1＜x＜3，又ln(－x＋4x－3)≠0，即－x＋4x－3≠1，所以x－4x＋4≠0，所以x≠2.故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．
答案： (1,2)∪(2,3)
32
3．(2019·通州调研)若一元二次不等式2kx＋kx－<0对一切实数x都成立，则实数k8的取值范围为________．
2
2
k<0，??
解析：由题意可得??－3?<0，2
Δ＝k－8k×?8?????
答案：(－3,0)
解得－3 4．(2019·天星湖中学检测)不等式|x|(1－2x)>0的解集为________． 1 解析：当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以0 2 x(1－2x)>0，所以x<0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪?0，?. 2 ?? 1?? ?1?答案：(－∞，0)∪?0，? ?2? 5．已知二次函数f(x)＝ax－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集为________． 解析：因为f(x)＝ax－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)－4a＝a＋4＞0，所以函数f(x)＝ax2 2 2 2 2 －(a＋2)x＋1必有两个不同的零点．因此f(－2)f(－1)＜0，所以(6a＋5)(2a＋3)＜0，所以352 －＜a＜－.又a∈Z，所以a＝－1.不等式f(x)＞1即为－x－x＞0，解得－1＜x＜0. 26 答案：(－1,0) 6．若关于x的不等式ax－6x＋a<0的解集是(1，m)，则m的值为________． 解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax－6x＋a＝0的一个根，即a＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax－6x＋a<0的解集是(1,2)，符合要求；当 2 22 2 2 2 2 - 1 - a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2. 答案：2 7．在R上定义运算：? ?a b??x－1 a－2? ?＝ad－bc，若不等式??≥1对任意实数x恒成立，?c d??a＋1 x? 则实数a的最大值为_______． ?x－1 a－2?2222 解析：由定义知，不等式?∴x－x＋1≥a?≥1等价于x－x－(a－a－2)≥1， ?a＋1 x? 313?1?23322 －a对任意实数x恒成立．∵x－x＋1＝?x－?＋≥，∴a－a≤，解得－≤a≤，则实数 422?2?44 a的最大值为. 3 答案： 2 8．已知f(x)＝mx－mx－1，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：由mx－mx－1＜－m＋5得m(x－x＋1)＜6.∵x－x＋1＞0，∴m＜上恒成立．令y＝ 6 ＝ x－x＋1? 22 2 2 2 32 6 在[1,3] x－x＋1 2 6?1?23 .因为t＝?x－?＋在[1,3]上是增函数，所以y＝1?3?2?4?x－2?2＋4?? 6?66?在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值为.所以m的取值范围是?－∞，?. 7?x－x＋17? 2 6??答案：?－∞，? 7?? 9．设a<0，若不等式－cosx＋(a－1)cos x＋a≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是________． 解析：令t＝cos x，t∈[－1,1]，则不等式f(t)＝t－(a－1)t－a≤0对t∈[－1,1]恒 ??f成立，因此? ?f? 2 2 2 2 －1≤0，1≤0 ??a－a≤0， ??2 ?2－a－a≤0，? 2 因为a<0，所以a≤－2. 答案：(－∞，－2] ??2－|x＋1|，x≤1， 10．(2019·苏北四市高三一模)已知函数f(x)＝?2 ??x－1，x＞1， 函数g(x)＝f(x) ＋f(－x)，则不等式g(x)≤2的解集为________． - 2 - ?x－12 ，x＞1解析：f(x)＝? ，?1－x，－1≤x≤1， ??3＋x，x＜－1， ?则f(－x)＝? 3－x，x＞1，?1＋x，－1≤x≤1， ??－x－12，x＜－1， ?x2 －3x＋4，x＞1，故g(x)＝? ?2，－1≤x≤1， ??x2＋3x＋4，x＜－1， 当x＞1时，g(x)≤2?x2 －3x＋4≤2?1＜x≤2， 当－1≤x≤1时，g(x)＝2，满足． 当x＜－1时，g(x)≤2?x2 ＋3x＋4≤2?－2≤x＜－1， 故g(x)≤2的解集为[－2,2]． 答案：[－2,2] 11．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围． 解：(1)因为f(x)＋2x>0的解集为(1,3)， 所以f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0， 所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x ＝ax2 －(2＋4a)x＋3a.① 由方程f(x)＋6a＝0， 得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.② 因为方程②有两个相等的实根， 所以Δ＝[－(2＋4a)]2 －4a·9a＝0， 即5a2 －4a－1＝0，解得a＝1或a＝－15. 由于a<0，舍去a＝1，将a＝－1 5代入①， 得f(x)＝－15x2－63 5x－5 . ?1＋22 (2)由f(x)＝ax2 －2(1＋2a)x＋3a＝a?a?x－a??2? －a＋4a＋1a且a<0， 可得f(x)的最大值为－a2＋4a＋1 a. - 3 -