(文理通用)江苏省2020高考数学二轮复习专题四函数与导数、不等式第13讲一元二次不等式练习

第13讲 一元二次不等式

课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角

A级——高考保分练

1.不等式-x-3x+4≤0的解集为________.

解析:由-x-3x+4≤0得x+3x-4≥0,即(x+4)(x-1)≥0,∴x≥1或x≤-4. 答案:(-∞,-4]∪[1,+∞) 2.函数f(x)=

ln

2

2

2

2

1

的定义域是________.

-x+4x-3

2

2

2

解析:由题意得-x+4x-3>0,即x-4x+3<0,所以1<x<3,又ln(-x+4x-3)≠0,即-x+4x-3≠1,所以x-4x+4≠0,所以x≠2.故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).

答案: (1,2)∪(2,3)

32

3.(2019·通州调研)若一元二次不等式2kx+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k8的取值范围为________.

2

2

k<0,??

解析:由题意可得??-3?<0,2

Δ=k-8k×?8?????

答案:(-3,0)

解得-3

4.(2019·天星湖中学检测)不等式|x|(1-2x)>0的解集为________.

1

解析:当x≥0时,原不等式即为x(1-2x)>0,所以0

2

x(1-2x)>0,所以x<0,综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪?0,?.

2

??

1??

?1?答案:(-∞,0)∪?0,? ?2?

5.已知二次函数f(x)=ax-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f(x)>1的解集为________.

解析:因为f(x)=ax-(a+2)x+1,Δ=(a+2)-4a=a+4>0,所以函数f(x)=ax2

2

2

2

2

-(a+2)x+1必有两个不同的零点.因此f(-2)f(-1)<0,所以(6a+5)(2a+3)<0,所以352

-<a<-.又a∈Z,所以a=-1.不等式f(x)>1即为-x-x>0,解得-1<x<0. 26

答案:(-1,0)

6.若关于x的不等式ax-6x+a<0的解集是(1,m),则m的值为________. 解析:根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax-6x+a=0的一个根,即a+a-6=0,解得a=2或a=-3,当a=2时,不等式ax-6x+a<0的解集是(1,2),符合要求;当

2

22

2

2

2

2

- 1 -

a=-3时,不等式ax2-6x+a2<0的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞),不符合要求,舍去.故m=2.

答案:2

7.在R上定义运算:?

?a b??x-1 a-2?

?=ad-bc,若不等式??≥1对任意实数x恒成立,?c d??a+1 x?

则实数a的最大值为_______.

?x-1 a-2?2222

解析:由定义知,不等式?∴x-x+1≥a?≥1等价于x-x-(a-a-2)≥1,

?a+1 x?

313?1?23322

-a对任意实数x恒成立.∵x-x+1=?x-?+≥,∴a-a≤,解得-≤a≤,则实数

422?2?44

a的最大值为.

3

答案:

2

8.已知f(x)=mx-mx-1,若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,则实数m的取值范围是________.

解析:由mx-mx-1<-m+5得m(x-x+1)<6.∵x-x+1>0,∴m<上恒成立.令y=

6

x-x+1?

22

2

2

2

32

6

在[1,3]

x-x+1

2

6?1?23

.因为t=?x-?+在[1,3]上是增函数,所以y=1?3?2?4?x-2?2+4??

6?66?在[1,3]上是减函数.因此函数的最小值为.所以m的取值范围是?-∞,?.

7?x-x+17?

2

6??答案:?-∞,?

7??

9.设a<0,若不等式-cosx+(a-1)cos x+a≥0对于任意的x∈R恒成立,则a的取值范围是________.

解析:令t=cos x,t∈[-1,1],则不等式f(t)=t-(a-1)t-a≤0对t∈[-1,1]恒

??f成立,因此?

?f?

2

2

2

2

-1≤0,1≤0

??a-a≤0,

??2

?2-a-a≤0,?

2

因为a<0,所以a≤-2.

答案:(-∞,-2]

??2-|x+1|,x≤1,

10.(2019·苏北四市高三一模)已知函数f(x)=?2

??x-1,x>1,

函数g(x)=f(x)

+f(-x),则不等式g(x)≤2的解集为________.

- 2 -

?x-12

,x>1解析:f(x)=?

,?1-x,-1≤x≤1,

??3+x,x<-1,

?则f(-x)=?

3-x,x>1,?1+x,-1≤x≤1,

??-x-12,x<-1,

?x2

-3x+4,x>1,故g(x)=?

?2,-1≤x≤1,

??x2+3x+4,x<-1,

当x>1时,g(x)≤2?x2

-3x+4≤2?1<x≤2, 当-1≤x≤1时,g(x)=2,满足.

当x<-1时,g(x)≤2?x2

+3x+4≤2?-2≤x<-1, 故g(x)≤2的解集为[-2,2]. 答案:[-2,2]

11.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式; (2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围. 解:(1)因为f(x)+2x>0的解集为(1,3), 所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0, 所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x =ax2

-(2+4a)x+3a.① 由方程f(x)+6a=0, 得ax2-(2+4a)x+9a=0.② 因为方程②有两个相等的实根, 所以Δ=[-(2+4a)]2

-4a·9a=0, 即5a2

-4a-1=0,解得a=1或a=-15. 由于a<0,舍去a=1,将a=-1

5代入①,

得f(x)=-15x2-63

5x-5

.

?1+22

(2)由f(x)=ax2

-2(1+2a)x+3a=a?a?x-a??2?

-a+4a+1a且a<0,

可得f(x)的最大值为-a2+4a+1

a. - 3 -

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