概率统计章节作业答案

两边对y求导:fY(y)?FX?(y?1y?11y?1)?()??fX(), 2222?1??y2y?1e,?0??y?1?y?1??22又因为fX()????e,y??1,所以,Y的概率密度为:

2y?1?0,?0,y??1?0???2?1?1?y2?e,y??1. fY(y)??2?0,y??1?

四、应用题

1.一批零件中有10个合格品和2个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,如果每次取出废品后不再放回,用X表示在取得合格品以前已取出的废品的个数,求:(1)随机变量X的分布律;(2)随机变量X的分布函数.

解:(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,且

P(X?0)?105211012105?,P(X?1)???,P(X?2)????, 12612111066121133得到X的分布律为:

X P 0 1 2 551 63366(2)X的可能取值0,1,2将分布函数F(x)的定义域(??,??)分为四部分: 当x?0时,F(x)?P(X?x)?0, 当0?x?1时,F(x)?P(X?x)?P(X?0)?5, 665, 66当1?x?2时,F(x)?P(X?x)?P(X?0)?P(X?1)?当2?x时,F(x)?P(X?x)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?1. 从而得到X的分布函数为:

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?0,x?0?5?,0?x?1?6F(x)??.

?65,1?x?2?66?1,x?2?

2.袋中有标号为1,2,2,3,3,3的六个球,从中任取一个球,求所取出的球的号码X的概率分布及分布函数.

.解:X的可能取值为1,2,3.且

P(X?1)?12131,P(X?2)??,P(X?3)??, 66362所以,X的概率分布为:

X P 1 2 3 111 632当x?1时,F(x)?P(X?x)?0, 当1?x?2时,F(x)?P(X?x)?P(X?1)?1, 61, 2当2?x?3时,F(x)?P(X?x)?P(X?1)?P(X?2)?当x?3时,F(x)?P(X?x)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?1. 从而得到X的分布函数为:

?0,x?1?1?,1?x?2?6F(x)??

?1,2?x?3?2?1,x?3?

3. 袋中有标号为1,2,2,3,3,3的六个球,从中任取两个球,X表示取出的两个球的最大号码,求X的概率分布.

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.解:X的所有可能的取值为2,3.且

11112C3C3?C324C1C2?C21P(X?2)??,P(X?3)??, 22C65C65从而得到X的概率分布为:

4.设一批产品共1000个,其中40个是次品,随机抽取100个样品,按下列两种方式抽样,分别求样品中次品数X的概率分布.

(1)不放回抽样; (2)有放回抽样.

解:(1)不放回抽样,X的可能取值为0,1,2,…,40.{X=k}表示100个样品

k100?kC40C1000?40中恰好有k个次品,则P(X?k)?,得到X的概率分布为: 100C1000X P 2 3 14 55k100?kC40C960P(X?k)?,k?0,1,2,...,40. 100C1000(2)有放回抽样,X的可能取值为0,1,2,…,100.由于有放回抽样,抽取100个样品可看作进行了100重贝努里试验,且每次抽到次品的概率都是0.04,抽到正品的概率为0.96,X~B(100,0.04).则X的概率分布为:

kP(X?k)?C1000.04k0.96100?k,k?0,1,2,...,100.

15.抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次正面出现的概率为,连续抛掷10次,

3以X表示正面出现的次数,求X的分布律.

1由题设知,X~B(10,). 则X的分布律为:

3k1k210?kP(X?k)?C10()(),k?0,1,2,...,10.

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6.有一繁忙的交通路口,每天有大量的汽车经过,设每辆汽车在一天的某段

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时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问出事故的次数不小于2的概率.

解:设X表示1000辆汽车通过路口时出事故的次数,由题意知,

X~B(1000,0.0001).由于n=1000很大,p=0.0001很小,故利用泊松分布近似代替二项分布计算.

0.1k?0.1e,k?0,1,2,..., 其中,??np?1000?0.0001?0.1,P(X?k)?k!查泊松分布表可得,所求概率为:

7.以电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布,求: (1)每分钟恰有4次呼唤的概率; (2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率.

解:设X表示电话交换台每分钟收到的呼唤次数,由题意知,X~P(4),其分布律为:

4k?4P(X?k)?e,k?0,1,2...,则

k!44?4(1)每分钟恰有4次呼唤的概率P(X?4)?e?0.195367;

4!4k?4(2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率P(X?4)??e?0.56653

k?4k!?

8.袋中装有8个球,其中3个红球、5个白球,现从袋中任取3个球,求取出红球数的概率分布.

解:X表示取出3个球中含有红球的个数,则X的可能取值为0,1,2,3. 且

312C5C3C515,P(X?1)?35?, P(X?0)?3?C828C82813C32C5C3151P(X?2)?3?,P(X?3)?3?,

C856C856 28

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