27.求实二次型 f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x3?4x1x4?2x2x的规范形及
3符号差.（15分）
28.设A是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，??1，??1，
(??1)2(??2)(??3)3，求A 的所有的初等因子及A的若当标准形.
29.设V为数域P上的n维线性空间，且V?L(?1,?2,L,?n)
(1）证明：{?1,?1??2,L,?1??2?L??n}是V的一组基；
(2) 若??V在基{?1,?2,L,?n}下的坐标为(n,n?1,L,21)，
求
?在基{?1,?1??2,L,?1??2?L??n}下的坐标. （14分）
30.在三维空间
P3中，已知线性变换
T在基
?101??1?(?1,1?2,1?),??下的矩阵是0,1?3(1?,?1)1,0?，
求(???T?121??在基e1?(1,0,0),e2?(0,1,0),e3?(0,0,1)下的矩阵.
31.
在
线
性
空
间
Rn中
，定义(x,y?)?x，Ay?x?(x22?3A????1,x2),y?(y1,y2)?R，其中??6?。 3?（1）证明：(x,y)是R2的内积，因而R2按此内积构成一个欧氏空间，
（2）求
R2的一组标准正交基，（3）求矩阵
P，使得
A?P?P.
32.设
R4的两个子空间为：V1???x1,x2,x3,x4?x1?x2?x3?x4?0?,
V2??(x1,x2,x3,x4)x1?x2?x3?x4?0?.求V1?V2与V1IV2的基与维数.
1,1)
33.设V是3维线性空间，?1,?2,?3为它的一个基.线性变换?:V?V，
x1?1?x2?2?x?3a32x?1?13x?2?24x? 30,求（1）
?在基?1,?2,?3下的矩阵；
（2）求核ker?和值域Im?.
34.设V是实数域上所有n阶对称阵所构成的线性空间，对任意A,B?V，
定义(A,B)?trAB，其中trAB表示AB的迹.（1）证明：V构成一欧氏空间；
（2）求使trA?0的子空间S的维数；
（3）求S的正交补S?的维数.
35.试找出全体实2级矩阵
M2(R)所构成的线性空间到R4的一个线性同构.
36.求由向量?1?(1,2,1,0),?2?(?1,1,1,1)生成的子空间
V1与由向量
?1?(2,?1,0,1),?2?(1,?1,3,7)生成的子空间V2的交的基和维数.
?1?22?37.设A???3?36?，求(1)
A的不变因子、行列式因子、初等因子.(2)A的
??2?24?Jordan标准形.
38.设
Pn?n是数域
P上
n?n矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换?(A)?A?，?A?V.（1）证明：?是
Pn?n上的对合线性变换，
即?是满足?2?I（恒等变换）的线性变换；（2）求?的特征值和特征向量.
f(x22239.已知实二次型
1,x2,x3)??4x1?4x2?4x3?（1）假设f(x4x4x1,x2,x3)是1x2?1x3?4tx2x3负定二次型，求
t的值；
（2）当t??1时，试用非退化线性变换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵.
?1?12?40.设?,?2,?3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为?1??12?1??（1）??2?16??令???1??2，证明
?是个单位向量；（2）若???1??2??k3与?正交，求k.
41.已知W10?1?????ab???0?|a,b?R??,0?W????a?2???c0??|a1,c1?R??是R2?21?的两个
子空间，求W1?W2,W1?W2的一个基和维数.
42. V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
W1?{f(x)f(x)?V,f(x)?f(?x)},
W2?{f(x)f(x)?V,f(x)??f(?x)}证明：W1、W2皆为V的子空间，且V?W1?W2.
43.由三个函数1,cost,sint生成的实线性空间记为V,
求线性变换T:VaV,f(t)af(t??)的迹，行列式和特征多项式.
3
?1???2??44.求?-矩阵????????的初等因子和不变因子. ??1??2?2??2??
45.设?为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换?如下：
A????2(?,?)?,???V.证明：??为第二类的正交变换
47.在线性空间P
2×2
中，
A?12???11??2?1???10?A1?1?1???,2???11??,B1???01??,B2???37??
(1)求L(A1,A2)L(B1,B2)的维数与一组基； (2)求L(A1,A2)?L(B1,B2)的维数
与一组基.
47’
.设A为
n维线性空间V的一个线性变换，且A2??(恒等变换)，
证明:(1)
A的特征值只能是1或 -1；(2)V?V1?V?1.
48.已知二次型f(x221,x2,x3)?2x1?3x2?3x23?2ax2x3(a?0)通过正
交变换化为标准形
f?y221?2y2?5y2，求
3a的值及所作的正交变换．
49.
P3中，线性变换?关于基?1?(?1,1,1)，?2?(1,0,?1)，?3?(0,1,1)的
?矩阵为A??101??110???（1）求
?关于标准基
?121?????1,2,?3的矩阵；
（2）设
???1?6?2??3,???1??2??3,求?(?),?(?)关于基
{?1,?2,?3}的坐标.
50.设
?是
R3的线性变换,
?(x1,x2,x3)?(x1?2x2?x3,x2?x3,x1?x2?2x3)
（1）求值域Im(?)的一个基和维数；（2）求核Ker(?)的一个基和维数．