研究生高等代数复习题

51.(1)实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为几类;

(2)某四元二次型有标准形2y22221?3y2?y3?4y4,求其规范形.

?300?52.设A???0?14??(1)求A的最小多项式;(2)求A的初等因子;(3)求A的若???1?13??当标准形.

53.设?1?(1,1,?1,?1),?2?(1,?1,?1,1),?3?(1,?1,1,?1),

R4中求与?1,?2,?3同时正交的单位向量(内积按通常的定义).

54.已知Pn?n的两个子空间V??AA??A?Pn?n??n?n?1????,V2???AA???A?P??, 证明:Pn?n?V1?V2.

55.求下面矩阵A的列空间在R4中的正交补的一个标准正交基.(15分)

56.设

A为n阶方阵,W??x?Rn|Ax?0?,W??x?Rn12|(A?E)x?0?

证明:A为幂等矩阵当且仅当Rn?W1?W2.

57.设A是数域P上线性空间V的线性变换,?1,?2是

A的特征值,且?1??2,

V?,V?分别是对应于?,?的特征子空间,试证:V1212?1?V?是直和.

2

58.设?1,?2,?3,?4是4维空间

?10???12?12??2?2V的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为

21??13?,求A的核和值域. 55??1?2?

59.已知向量?1??1,2,4,3?,?2??1,?1,?6,6?,?3???2,?1,2,?9?,?4??1,1,?2,7?,

TTTT???4,2,4,a?(2)求

T,(1)求线性子空间W?L(?1,?2,?3,?4)的维数与一个基;

a 的值,使得??W ,并求?在(1)所选基下的坐标.

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