（1）?x?1?1?3??x?1?1?x?2.5??2x?3?*rect??????x??*rect???rect??
?2?2?2??2?2?2?（2）comb?x?*rect?x??1
x?22?x?1??x?1?（3）rect??*rect?? 设卷积为g?x?，当x?0时，g?x?=?0d??x?2，当x?0时，g?x?=?xd??2?x
22????
?x?1?2,x?0g?x??2?
x?1?,x?0?2?x?g?x??2???
?2?2即
（4）已知exp2???x?的傅里叶变换为exp?????，求
2?exp??x????exp??x2?exp???2?2?
/2?2?2?exp?2?2?2?2????
（5）单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布
?x2?y2?00?解：孔径平面撒谎能够的透射场为U0?x0,y0??circ?由菲涅耳公式，当x?y?0时，得到轴上点的复振幅分布为 ??a????x2?y2exp?jkz?0?0 U?0,0;z??circ?j?z???a??22?x0?y0?exp??jk??2z????dx0dy0 ??a?r2??a2???a2?exp?jkz?2???d??exp?jk?rdr??2jexp?jkz?exp?jk?sin? ???????00j?z?2z??4z??2?z???a2?I?0,0;z??4sin??2?z??
??2(6)焦距
f?500mm，直径D?50mm的透镜将波长??632.8nm的激光束聚焦，激光束的截面D1?20mm。试求透镜焦点处的光强是激
光束光强的多少倍？ 解：设入射激光束的复振幅为和光强为
??x2?y2exp?jkz?0?0U?0,0;f??A0circ?D1/2j?z?????2??D??expjkz1?dxdy?A000?j?z4?A0，强度为I0?A02，通过透镜后的出射光场为，将此式代入菲涅耳衍射公式，并令x?y?0得焦点处的复振幅
??D12?6?I?0,0;f??A??I?10 0?4?f???20（14）彩虹全息照相系统中使用狭缝的作用是什么?为什么彩虹全息图的色模糊主要发生在狭缝垂直的方向上？
在彩虹全息照相中使用狭缝的目的是为了能在白光照明下再现准单色像。在普通全息照相中，若用白光照明全息图再现时，不同波长的光同时进入人眼，我们将同时观察到相互错位的不同颜色的再现像，造成再现像的模糊，即色模糊。在彩虹全息照相中，由于狭缝起了分色作用，再现过程中不同波长的光对应不同的水平狭缝位置，通过某一狭缝位置只能看到某一准单色的像，从而避免了色模糊。
在彩虹全息照相中，为了便于双眼观察，参考平面波的选择总是使全息图的光栅结构主要沿水平方向，因而色散沿竖直方向。狭缝沿水平方向放置，这样色散方向与狭缝垂直，即色模糊主要发生在与狭缝垂直的方向上，这样做的结果便于人眼上下移动选择不同颜色的准单色像
（7）等腰直角三角形孔径放在透镜的前焦面上，以单位振幅的单色平面波垂直照明，试求透镜后焦面上是夫琅禾费衍射图样的复振幅分布 解：注意到等腰直角三角形三个边的方程分别为
y0?x0,y0??x0,x0?a，由公式得
'
U?x,y??c??2j???x??t?x,y?exp00???0?y0???dx0dy0
?c'?a0dx0?x0?x0exp??2j???x0?y0???dy0
jc'a?exp??j??????a?sinc?????a?exp??j???????sinc?????a? ?2??其中??xy,???f?f
（8）衍射受限系统的出瞳直径为D的圆，求此系统的光学传递函数 解：由于是圆形光瞳，OTF应该是圆对称的，只要沿?轴计算根据几何公式，交叠面积
即可，在x轴方向移动?di?后，交叠面积被
AB分成两个面积相等的弓形，
D2???sin?cos?? S??,0??2
cos???di?/2D/2??di?D
在截止频率内
??,0??S??,0??S??2,0?S0?D/4?2????sin?cos??
截止频率满足?di??D，系统相干传递函数的截止频率?c?D/2?di。显然光学传递函数的截止频率恰好又是2?c
??,??在极坐标中的表达式为
?2???sin?cos??,?????????0,cos????D/?di其它
式中
???2??2,?di?D
（9）衍射受限非相干成像系统的光瞳为边长l的正方形，求其光学函数 解：光瞳函数为
?x??y?P?x,y??rect??rect??
?l??l?重叠面积
??l??di???l??di??,?,??0?S??,?????l??di???l??di??,?,??0
?0,?di??l,?di??l?即
??l??di???l??di??,?di??l,?di??lS??,????
0,其它?????,???S??,??????S0?????????2?c??2?c??? ?光学传递函数为
式中，?c?l/2?di是同一系统采用相干照明时的截止频率。非相干系统沿?和?轴方向上截止频率是2?c?l/?di
（10）物体的复振幅透过率为t1?x??cos2?xb将此物通过一横向放大率为1的光学系统成像，系统的出瞳是半径为a的圆形孔径，并且
?dib?a?2?dib。di为出瞳到像面的距离，?为照明光波波长，试问对该物体成像，采用相干照明和非相干照明，哪一种照明方式为好？
解：当采用相干照明系统时，对于半径为a的圆形出瞳，其截止频率为?c?a?di由于系统的横向放大率为1，物和理想像等大，空间频谱结构相
同。由题设条件
?dib?a?2?dib可得
11?c???c，将物函数展开成傅里叶级数得 2bt1?x??cos2??x4?11x?1??x????cos?4???cos?6?????此物函数的基频2/b??c。所以在相干照明下，成像系统只允许零b??21·3?b?3·5?b??频分量通过，而其它频谱分量均被挡住，所以物不能成像，像面呈均匀强度分布。
在非相干照明条件下，系统的截止频率2?c大于物的基频2/b，所以零频和基频均能通过系统参与成像，于是在像面上仍有图像存在，尽管像的基频被衰减，高频被截断了。基于这种分析，显然非相干成像要比相干成像好 （11）在上题中，如果物体换为t2解：t1?x?，其复振幅透过率为t2?x??cos2?x结论又如何？
bx。 b?a?di，且1/b?x?和t2?x?这两个物函数的振幅分布不同，但有相同的强度分布cos2?xib对于相干照明，理想像的复振幅分布为cos2?的复振幅能不受影响地通过此系统成像。 对于非相干照明，理想像的强度分布为cos2?，其频率为1/b，按题设系统的截止频率为?c??c，因此这个呈余弦分布
xi1?2???1?cos2?xi?，其频率为2/b，按题设2/b?2?c，即小于非相干截止频率。故b2?b?此物也能通过系统成像，但幅度要受到衰减。由此看来，在这种物结构下，相干照明好于非相干照明。
（12）制作一全息图，记录时用的是氩离子激光器波长为488.0nm的光，而成像时则是用He-Ne激光器波长为632.8nm的光： ①设zp②设zp??,zr??,z0?10cm,问像距zi是多少？
??,zr?2z0,z0?10cm,问zi是多少？放大率M是多少？
由
公
式
解：
?1?2?2???zi????z??p?1zr?1z0??1，
M?1?z0?1z0?zr?2zp，
xi???2zi?zzx0?2ixr?ixp?1z0?1zrzp，
yi???2zi?zzy0?2iyr?iyp可得①zi??7.7cm②zi??15.4cm，M?2 ?1z0?1zrzp当zi为正时，再现像是虚像，位于全息图左侧；当zi为负时，再现像是实像，位于全息图右侧
（13）散射物体的菲涅耳全息图的一个有趣性质是，全息图上局部区域的划痕和脏迹并不影响像的再现，甚至取出全息图的一个碎片，仍能完整地再现原始物体的像，这一性质称为全息图的冗余性①应用全息照相的基本原理，对这一性质加以说明。②碎片的尺寸对再现像的质量有哪些影响？ ①对于散射物体的菲涅耳全息图，物体与底片之间的关系是点面对应关系，即每一物点所发出的光波都直接照射到记录介质的整个平面上；反过来，菲涅耳全息图上的每一点都包含了物体各点的全部信息，称为全息图的“冗余”性。这意味着只要一小块全息图就可以完整再现原始物的像。因此，局部区域的划痕和脏迹并不影响物的完整再现，甚至取出一小块仍能完整再现原始物体的像。②虽然，冗余的各小块并不带来新的信息，但各小块再现像的叠加提高了像的信噪比，增加了像的亮度。其次，一个物点再现为一个像点是在假定全息记录介质也即全息图为无限大的情况下得出的。对于有限大小的全息图，点物的再现像是一个衍射斑，全息图越小衍射斑越大，分辨率越低。碎块的再现像分辨率较低。最后，通过全息图来观察再现像，尤如通过橱窗看里面的陈列品一样，如将橱窗的一部分遮挡，有些物品就可能看看不到。因此，小块全息图再现时，视场较小
（15）在图所示系统中，在x1y1平面上放置一正弦光栅，其振幅透过率为t?x1??t0?t1cos?2??0x1?
①在频谱面的中央设置一小圆屏挡住光栅的零级谱，求像的强度分布及可见度； ②移动小圆屏，挡住光栅的+1级谱，像面的强度分布和可见度又如何？
解：①设用振幅为1的单色平面波垂直照明物平面，频谱面上的零级斑对应于物平面上与t0项相联系的直流信息，所以挡住零级斑相当于完全通过系统的物信息为
u0?x1,y2??t1co?s2??0x1?2故输出信息成为
ui?x3,y3??u0?x3,y3??t1co?s2??0x3?输出图像的强度
Ii?x3,y3??ui?x3,y3??t12cos2?2??0x3??12t1?1?cos?4??0x3??除直流外，其交流成分的空间频率??2?0，而条纹可见度2Imax?Imint12/2??2?1 Imax?Imint1/2②展开输入图像的物信息t?x1??t0?1t1exp?j2??0x1??1t1exp??j2??0x1?谱平面上的+1级谱与物信息中含有的1t1exp?j2??0x1?222相对应，故挡住+1级谱相当于完全通过的物信息为u01t1exp??j2??0x1?此时的输出信息为ui?x3,y3??u0?x3,y3?? 21122t0?t1exp??j2??0x3?输出图像的强度分布为Ii?x3,y3??ui?x3,y3??t0?t12?t0t1cos?2??0x3?除直流分流外，其交流成分的
24?x1,y2??t0?空间频率仍为?0，但条纹可见度降为
?t0t1 22t0?t1/4（16）在图所示系统中，在x1y1平面上有两个图像，它们的中心在x1轴上，距离坐标点分别为a和?a，今在频谱面上放置一正弦光栅，其振幅透过率为T??,???1?cos?2?a??，试证明在像面中心可得到两个图像相加。
?x1,y1??u1?x1?a,y1??u2?x1?a,y1?物的频谱为
解：用单位振幅的相干平面波垂直照射物平面，则x1y1平面上两个像的复振幅分布为uU??,??，滤波函数T??,???H??,??，可看成系统的传递函数。于是像的复振幅为ui?x3,y3???U??,??H??,????u?x3,y3?*h
2211?x3,y3?式中，h?x3,y3?是H??,??的点扩散函数，1?cos?2?a??????x3,y3?+??x3?a,y3????x3?a,y3?于即h?x3,y3?=?是像的复振幅为ui11??x3,y3??[u1?x3?a,y3??u2?x3?a,y3?]*????????x,y??x?a,y??x?a,y3333??u1?x3?a,y1?? ?33?22?u2?x3?a,y3??1?u1?x3,y3??u2?x3,y3???1?u1?x3?2a,y3??u2?x3?2a,y3??可见，在像面中心得到图像u1和u2的相加 22（17）在4f成像系统中，为了在像面上得到输入图像的微分图像，试问在频谱面上应该使用怎样的滤波器？
?解：设输入图像的复振幅分布为u0?x1?其频谱为U0???，因此有u0?x1???U0???exp?j2??x1?d?又设输出像的复振幅为ui?x3?，在没有
???ddu0?x3??空间滤波器的情况下，像面上复振幅分布应为ui?x3??u0?x3?若要使ui?x3??dx3dx3U0???exp?j2??x1?d?透过变换平面的频谱应为U0'???U???exp?j2??x?d???j2??
03???????T???U0????j2??U0???所以滤波器的投射函数为T????j2??，?可取
正负两值。为实现负值，可将两块模片叠合，一块是振幅模片，其透过率为T1????2??另一块是相位模片，做成在?的正的范围和负的范围中，
其相位差为?的想为掩模，其透过率函数为T2
????????0
??j,??0j,