高考数学(理)一轮复习讲义高考专题突破5高考中的圆锥曲线问题第3课时证明与探索性问题

第3课时 证明与探索性问题

题型一 证明问题

x22

例1 (2017·全国Ⅱ)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y=1上,过M作x轴的垂线,

2→→

垂足为N,点P满足NP=2NM. (1)求点P的轨迹方程;

→→

(2)设点Q在直线x=-3上,且OP·PQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

(1)解 设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0), →→

NP=(x-x0,y),NM=(0,y0). 2→→

由NP=2 NM得x0=x,y0=y.

2x2y2

因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.

22因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. (2)证明 由题意知F(-1,0).

设Q(-3,t),P(m,n),则OQ=(-3,t), →→→PF=(-1-m,-n),OQ·PF=3+3m-tn, →→

OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).

→→由OP·PQ=1,得-3m-m2+tn-n2=1. 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. →→→→所以OQ·PF=0,即OQ⊥PF. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ,

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

思维升华 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,证明方法一般是采用直接法或反证法.

x2y26

跟踪训练1 已知椭圆T:2+2=1(a>b>0)的一个顶点A(0,1),离心率e=,圆C:x2+y2

ab3=4,从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM,PN. (1)求椭圆T的方程; (2)求证:PM⊥PN.

c6

(1)解 由题意可知b=1,=,即2a2=3c2,

a3又a2=b2+c2,联立解得a2=3,b2=1. x22

∴椭圆方程为+y=1.

3

(2)证明 方法一 ①当P点横坐标为±3时,纵坐标为±1,PM斜率不存在,PN斜率为0,PM⊥PN.

②当P点横坐标不为±3时,设P(x0,y0),

2则x20+y0=4,设kPM=k,

PM的方程为y-y0=k(x-x0),

??y-y0=k?x-x0?,联立方程组?x2

2

??3+y=1,

2

消去y得(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3k2x20-6kx0y0+3y0-3=0, 2依题意Δ=36k2(y0-kx0)2-4(1+3k2)(3k2x20-6kx0y0+3y0-3)=0, 22化简得(3-x20)k+2x0y0k+1-y0=0,

又kPM,kPN为方程的两根,

2

1-y21-?4-x200?x0-3

所以kPM·kPN====-1. 223-x23-x3-x000

所以PM⊥PN. 综上知PM⊥PN.

方法二 ①当P点横坐标为±3时,纵坐标为±1,PM斜率不存在,PN斜率为0,PM⊥PN. ②当P点横坐标不为±3时,设P(2cos θ,2sin θ), 切线方程为y-2sin θ=k(x-2cos θ),

??y-2sin θ=k?x-2cos θ?,?x2

2

??3+y=1,

联立得(1+3k2)x2+12k(sin θ-kcos θ)x+12(sin θ-kcos θ)2-3=0, 令Δ=0,

即Δ=144k2(sin θ-kcos θ)2-4(1+3k2)[12(sin θ-kcos θ)2-3]=0, 化简得(3-4cos2θ)k2+4sin 2θ·k+1-4sin2θ=0, ?4-4sin2θ?-3kPM·kPN===-1. 22

3-4cosθ3-4cosθ所以PM⊥PN. 综上知PM⊥PN.

1-4sin2θ

题型二 探索性问题

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