第3课时 证明与探索性问题
题型一 证明问题
x22
例1 (2017·全国Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y＝1上，过M作x轴的垂线，
2→→
垂足为N，点P满足NP＝2NM. (1)求点P的轨迹方程；
→→
(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
(1)解 设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)， →→
NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)． 2→→
由NP＝2 NM得x0＝x，y0＝y.
2x2y2
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
22因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2. (2)证明 由题意知F(－1,0)．
→
设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)， →→→PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn， →→
OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．
→→由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1. 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. →→→→所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
思维升华 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．
x2y26
跟踪训练1 已知椭圆T：2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点A(0,1)，离心率e＝，圆C：x2＋y2
ab3＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN. (1)求椭圆T的方程； (2)求证：PM⊥PN.
c6
(1)解 由题意可知b＝1，＝，即2a2＝3c2，
a3又a2＝b2＋c2，联立解得a2＝3，b2＝1. x22
∴椭圆方程为＋y＝1.
3
(2)证明 方法一 ①当P点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN.
②当P点横坐标不为±3时，设P(x0，y0)，
2则x20＋y0＝4，设kPM＝k，
PM的方程为y－y0＝k(x－x0)，
??y－y0＝k?x－x0?，联立方程组?x2
2
??3＋y＝1，
2
消去y得(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3k2x20－6kx0y0＋3y0－3＝0， 2依题意Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)(3k2x20－6kx0y0＋3y0－3)＝0， 22化简得(3－x20)k＋2x0y0k＋1－y0＝0，
又kPM，kPN为方程的两根，
2
1－y21－?4－x200?x0－3
所以kPM·kPN＝＝＝＝－1. 223－x23－x3－x000
所以PM⊥PN. 综上知PM⊥PN.
方法二 ①当P点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN. ②当P点横坐标不为±3时，设P(2cos θ，2sin θ)， 切线方程为y－2sin θ＝k(x－2cos θ)，
??y－2sin θ＝k?x－2cos θ?，?x2
2
??3＋y＝1，
联立得(1＋3k2)x2＋12k(sin θ－kcos θ)x＋12(sin θ－kcos θ)2－3＝0， 令Δ＝0，
即Δ＝144k2(sin θ－kcos θ)2－4(1＋3k2)[12(sin θ－kcos θ)2－3]＝0， 化简得(3－4cos2θ)k2＋4sin 2θ·k＋1－4sin2θ＝0， ?4－4sin2θ?－3kPM·kPN＝＝＝－1. 22
3－4cosθ3－4cosθ所以PM⊥PN. 综上知PM⊥PN.
1－4sin2θ
题型二 探索性问题