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第六章 万有引力定律
习题解答
6.1.1设某行星绕中心天体以公转周期T沿圆轨道运行，试用开普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为t?T2?
证明：物体自由下落的加速度就是在行星上绕中心天体公转的向心加速度：
v22?R21a??()??4?2R/T2
RTR2由自由落体公式：R?1at,t?22R/a?T2?
（此题原来答案是：t?T42，这里的更正与解答仅供参考）
26
30
12
6.2.1 土星质量为5.7×10kg，太阳质量为2.0×10kg，两者的平均距离是1.4×10m.⑴太阳对土星的引力有多大？⑵设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度。
解：⑴据万有引力定律，太阳与土星之间的引力
f =GMm/r2=6.51×10-11×2.0×1030×5.7×1026/(1.4×1012)2 ≈3.8×1022N
2⑵选择日心恒星参考系，对土星应用牛顿第二定律：f=mv/r v?
fr/m?3.8?1022?1.4?012/5.7?1026?9.7?103m/s
6.2.3 ⑴一个球形物体以角速度ω转动，如果仅有引力阻碍球的离心分解，此物体的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中转数为每秒30转的脉冲星的最小密度。这脉冲星是我国在1054年就观察到的超新
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星爆的结果。⑵如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（≈2×10kg或3×10Me，Me为地球质量），此脉冲星的最大可能半径是多少？⑶若脉冲星的密度与核物质相当，它的半径是多少？核密度约为1.2×17310kg/m.
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解：⑴设此球体半径为R,质量为m.考虑球体赤道上的质元Δm,它所受到的离心惯性力最大 f=Δmω222233R，若不被分解，它所受到的引力至少等于离心惯性力,即 GmΔm/R=ΔmωR ∴ m=ωR/G ，而 m=4πRρ/3，代如上式，可求得，??脉冲星的最小密度??3?24?G
?113?(30?2?)24??6.51?103?1.3?1014kg/m3
3⑵据密度公式，m =ρV=4πRρ/3 ,∴R=3m/(4πρ) R?33?2?1030/(4?3.14?1.3?1014)?1.5?102km
⑶R?33?2?10/(4?3.14?1.2?10)?16km
6.2.4 距银河系中心约25000光年的太阳约以170000000年的周期在一圆周上运动。地球距太阳8光分。设太阳受到的引力近似为银河系质量集中在其中心对太阳的引力。试求以太阳质量为单位银河系的质
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量。
4
解：设银河系、太阳、地球的质量分别为M、m、m'；太阳距银河系中心的距离为r=2.5×10光年=2.546-8
×10×365×24×60光分=1.31×10光分，绕银河系中心公转角速度为ω=10×2π/1.7年；地球距太阳的距离为r'=8光分，绕太阳公转角速度为ω'=2π/年
分别对地球和太阳应用万有引力定律和牛顿第二定律：
2 2 2 2
Gmm'/ r' = m'ω'r' （1） GMm / r= mωr (2)
2 3
由（1）可得G=ω'r'/m，代入（2）中，可求得
21.31?103?2r31M?(?)m?1.53?1011m ')(r')m?(1.7?108)(86
6.2.5某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s，近日点的速度为80km/s。若地球在半径为1.5
8
×10km圆周轨道上绕日运动，速度为30km/s。求此彗星的远日点距离。
解：角动量守恒mv1a?mv2b ⑴ 能量守恒 12mv1?G牛二定律 GMm'R22Mma2Mm ⑵ ?1mv?G22b2?m'vR ⑶
8
⑴,⑵,⑶联立，解得 a = 3×10 km
6.2.6 一匀质细杆长L，质量为M.求距其一端为d处单位质量质点受到的引力（亦称引力场强度）。 解：选图示坐标0-x,单位质量质点在坐标原点处，在杆上取质元dm=dxM/L,其坐标为x,它对原点处质点的引力为：
?1df?Gdm?GMLx2dxx2,由于各质元对质点的引力方向均沿x轴正
向，∴杆对质点的引力方向沿x轴正向，大小为
f?
GML?d?Ldxdx??2GM1Lx|dd?L?GML11(d?d?L)?GMd(d?L)
6.2.7半径为R的细半圆环线密度为λ，求位于圆心处单位质量质点受到的引力（引力场强度） 解：由对称性分析可知，引力场强度的x分量等于零。 质元dm=λRdθ所受引力的y分量为
dfy??G?1?dmG?sin???sin?d? 2RRG?G??fy??sin?d??cos?|0 R?R0??2G?/R
6.3.1 考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V，赤道上的加速度是极点上的一半，求此行星
极点处的粒子的逃逸速度。
解： 设行星半径为R，质量为M，粒子m在极点处脱离行星所需的速度为v，在无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律有
12mv2?GMRm?0 即 v2?2GM/R ⑴
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以球形行星为参考系（匀速转动参考系），设粒子m在赤道上和极点上的加速度分别为a1和a2。
粒子m在赤道上除受引力作用外还受离心惯性力作用，由牛二定律有
MmV2G2?m?ma1即GM?RV2?a1R2 ⑵
RR粒子m在极点上只受引力作用，由牛二定律有
GMm2 ⑶ ?ma即GM?aR222R已知 a2?2a1 ⑷
由⑵、⑶、⑷可求得 GM/R?2V 代入⑴中，得
2v2?4V2?v?2V
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6.3.2 已知地球表面的重力加速度为9.8ms，围绕地球的大圆周长为4×10m，月球与地球的直径及质量之比分别是
Dm/De?0.27和Mm/Me?0.0123.试计算从月球表面逃离月球引力场所必需的最小速度。
解： 设质点m脱离月球的速度为v，在距月球无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律，有
Mm12mv?Gm?0?v2?2GMm/Rm ⑴ 2Rm将 Mm=0.0123Me，Rm=0.27Re 代入⑴中，有
v2?0.091GMe/Re ⑵
由牛二定律 GMem/Re?mg,?GMe/Re?Reg
2代入⑵中，有 v?0.091Reg
2?v?0.091?9.8?4?107/2??2.38(ms?1)
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