第七章
微分方程与差分方程
习题7－1（A）
1． 说出下列微分方程的阶数：
(1)x(y?)2?2yy??x?0; (2)x2y????xy??y?0;
(3)(7x?6y)dx?(2x?3y)dy?0.
2． 下列函数是否为该微分方程的解： (1)y???2y??y?0;y?x2ex
C?x2y?(C为任意常数)
2x(2)(x?y)dx?xdy?0;(3)d2ydx2?a2y?0;y?C1sinax?C2cosax(C1,C2为任意常数)
(4)(xy?x)y???xy?2?yy??2y??0;y?ln(xy)
3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： (1)x2?y2?C,yx?0?5;y ?0,y?x?0(2)y?(C1?C2x)e2x,(3)y?C1sin(x?C2),x?0?1;
yx???1,y?x???0.4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：
(1)曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方。
(2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分。
习题7－1（B）
1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C1, C2, C3 都是任意常数）求出相应的微分方程： (1)(x?C)2?y2?1; (2)xy?C1ex?C2e?x.
2．用微分方程表示下列物理问题：
(1)某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压P成正比，与温度的平方成反比。
(2)一质量为m的质点作直线运动，作用在它上面的一个力与时间t成正比（比例系数k1)，同时阻力与速度成反比（比例系数k1)。
习题7－2（A）
1．求下列微分方程的通解： (1)xy??ylny?0; (2)3x2?5x?5y??0;(3)y??xy??a(y2?y?);
(4)dy?10x?y;dx1?y2;1?x2
(5)y??
(6)dyx?;2dxy1?x
dy3x2?6x2y2(7)?;dxy?x3y
(8)sec2xtanydx?sec2ytanxdy?0;(9)3extanydx?y?(1?ex)sec2y?0;
(10)(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0.2．求解下列初值问题： (1)y??e2x?y,yx?0?0;
dx,dyyx?0?(2)cosxsiny?cosycosx?4;
(3)y?sinx?ylny,yx??2?0;
(4)(1?ex)yy??ex,yx?1?1.3.一曲线过点(2,3)，它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这曲线方程。14.一曲线过点(1,)，且在曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线的 3斜率的两倍，求这曲线方程。
习题7－2（B）
1.有一盛满水的圆锥形漏斗，高为10(cm)，顶角为60o,漏斗下面有面积为0.5(cm)2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。2.质量为1g(克)的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比；在t?10s(秒)时速度等于50cm/s，外力为4g?cm/s2(达因)，问从 运动开始经过了一分钟后的速度是多少？
3.镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R成正比，由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量R0的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系。4.船以v0?6(m/s)的初速开始运动，5秒后速度减至一半，已知阻力和速度成正比，试求船速随时间变化的规律。
2
5.设将质量为m的物体在空气中以速度v0竖直上抛，空气阻力为kv(k为常数)，试求在上升过程中速度与时间的函数关系。
6.一曲线过点(2a,b)，它以[a,x]为底构成的曲边梯形的面积等于同底而高为纵坐标y的矩形面积的1倍(m?1)
m，求这曲线方程。7.设y(x)是一个连续可微函数，且满足x?xx0y(x)dx?(x?1)?0xy(x)dx,求y(x).
习题7－3（A）
1． 求下列齐次方程的通解： (1)xy??y(lny?lnx); (2)xy??y?y2?x2?0; (3)(x2?y2)dx?xydy?0; (4)(2xy?y)dx?xdy?0; (5)xdy?y(1?lny?lnx)dx;
(6)(2xshyx?3ychyx)dx?3xchyxdy?0.
2．求解下列初值问题：
(1)(x?ycosyx)dx?xcosyxdy?0,y(1)?0;
(2)y??xyy?x,y(1)?2.
3． 求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。
4． 求一曲线方程，使其上任一点处的切线在 y轴上的截距恰好等于原点O到
该点的距离。
习题7－3（B）
1． 求下列齐次方程的通解或特解：
(1)(1?2xy)y??1;
xx(2)(1?2ey)dx?2ey(1?xy)dy?0;
(3)(y2?3x2)dy?2xydx?0,yx?0?1;
(4)(x2?2xy?y2)dx?(y2?2xy?x2)dy?0,yx?1?1.
3
2*．化下列方程为齐次方程，并求出通解：
(1)(2x?5y?3)dx?(2x?4y?6)dy?0;(2)(x?y?1)dx?(4y?x?1)dy?0;(3)(3y?7x?7)dx?(7y?3x?3)dy?0;(4)(x?y)dx?(3x?3y?4)dy?0.
习题7－4（A）
1． 求下列微分方程的通解： (1)dydx?y?e?x;
(2)y??ycosx?e?sinx; (3)xy??(1?x)y?e2x;
(4)y??ytanx?sin2x?0;
(5)(x2?1)y??2xy?cosx?0; (6)(x?2)dy?y?2(x?2)3dx.
2． 求解下列初值问题：
(1)dydx?yx?sinxx,yx???1;
(2)dydx?ytanx?secx,yx?0?0; (3)y??ycotx?5ecosx,yx????4;
2(4)d?d??3??8,???0?2;
)dy2?3x2(5dx?x3y?1,yx?1?0.
3． 求通过原点且在任一点 (x, y) 处的切线斜率等于 2 x + y 的.曲线方程。
4． 一门课程结束后，学生学到的知识开始慢慢忘记，假设学生忘记其所学知识的速率
与他们当时还记得的知识与某一常数 a 之间的差成正比（比例系数设为 k ）
（1） 设 y(t) 为课程结束 t 星期后仍被学生记得的那部分知识的多少，试建立关于y(t) 的微分方程；
（2） 设课程结束时学生学到的知识的量为 1 （即 100％），解此微分方程； （3） 试解释在解中的两个常数 a 和 k 的实际意义。
5． 求下列伯努利方程的通解：
(1)dy?y?y2dx(cosx?sinx);
4
(2)dy?3xy?xy2dx; (3)y??4yx?xy;
(4)dy?y?1(1?2x)y4dx33;
(5)xdy?[y?xy3(1?lnx)]dx?0.
习题7－4（B）
1． 求下列微分方程的通解：
(1)(2x?y)dydx?1;
(2)(y2?6x)y??2y?0; (3)y??y2ylny?y?x;
(4)ylnydx?(x?lny)dy?0;
(5)(1?y2)dx?(x?arctany)dy?0.
2． 求解下列初值问题：
(1)y?(2ey?x)?1,yx?2?0;
(2)y??1xy?cosx2xy?0,yx???1; (3)(y?1)dx?xdy?(y?1)2eydy?0,yx?1?0;
(4)(1?y2)dx?(xy?1?y2cosy)dy?0,yx?2?0.
3.设y?f(x)(x?0)连续可微，且f(0)?1，已知曲线y?f(x)，x轴及x轴上过原点与x点的垂线所围成的图形的面积值与y?f(x)在[0,x]上的一段弧长值相等，求f(x).
4.一圆柱形桶内有40升盐溶液，其浓度为每升含溶解盐1公斤，现用浓度为每升1.5公斤的盐溶液并以每分钟4升的流速注入桶内，假定搅拌均匀后的混合物以每分钟4升的速 度流出，求桶内所含盐量x与时间t的函数关系。
5.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为k1）的力作用于它，此外还受一个与速度成正比（比例系数为k2）的阻力作用，求质点运动的速度与时间的函数
关系。
5