习题12
12-1．计算下列客体具有10MeV动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。 解：（1）具有10MeV动能的电子，可以试算一下它的速度：
2Ek12?107?1.6?10?192mv?Ek?v???光速c，所以要考虑相对论效应。 ?312m9.11?10设电子的静能量为m0c2，总能量可写为：E?Ek?m0c2，用相对论公式：
24，可得：E2?c2p2?m0cp?1124E2?m0c?Ek2?2m0c2Ek cchch ?22pEk?2m0cEk6.63?10?34?3?108 ?7?192?31827?19(10?1.6?10)?2?9.11?10?(3?10)?10?1.6?10?1.2?10?13m；
（2）对于具有10MeV动能的质子，可以试算一下它的速度：
2Ek2?107?1.6?10?197v???4.4?10m/s，所以不需要考虑相对论效应。 ?27m1.67?10??利用德布罗意波的计算公式即可得出：
hh6.63?10?34?????9.1?10?15m。
p2mE2?1.67?10?27?107?1.6?10?19
12-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为25.0kV，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式：
hh6.63?10?34?????7.76?10?12m；
p2meU2?9.11?10?31?1.6?10?19?25?103（2）用相对论公式：设电子的静能为m0c2，动能为：Ek?eU，
2?hc?E?eU?m0c?12由?，有：???7.67?10m。
22224222m0ceU?(eU)??E?cp?m0c
12-3．设电子与光子的德布罗意波长均为0.50nm，试求两者的动量只比以及动能之比。 解：动量为 p?h? 因此电子与光子的动量之比为
pe
?1； p?ch()2p2?Eh2me2me电子与光子的动能之比为 ke????2.4?10?3
chEk?pc2me?c?
12-4．以速度v?6?103m/s运动的电子射入场强为E?5V/cm的匀强电场中加速，为使电子波长
??1A，电子在此场中应该飞行多长的距离？
1hh2解：利用能量守恒，有：E?mv?eU，考虑到???，
p22mE?有：U?[11h2111h()?mv2]?[()2?mv2] e2m?22em?116.63?10?342?[()?9.11?10?31?(6?103)2] ?19?31?102?1.6?109.11?10101019?(4.82?10?17?3.28?10?23)?150.6V， 3.2?太小，舍去利用匀强电场公式E?UU150.6??0.301m。 有：d?dE500
12-5．用电子显微镜来分辨大小为1nm的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以eV为单位） 解：由于需要分辨大小为1nm的物体，所以电子束的徳布罗意波长至少为1nm，
6.63?10?34由p?，有电子的动量为：p??6.63?10?25kgm/s； ?9?10p6.63?10?25试算一下它的速度：v???7.28?105m/s??光速c， ?31m09.11?10p2所以不考虑相对论效应，则利用Ek?，有电子动能的最小值：
2m0h(6.63?10?25)2?19Ek??2.4?10J?1.5eV。 ?312?9.11?10
12-6．设电子的位置不确定度为0.1A，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为1keV，计算电子能量的不确定度。
?h6.63?10?34??6.63?10?23kg?m/s， 解：由不确定关系：?x??p?h，有?p??10?x0.1?10由E?Ek?mec2，可推出：
2Ek?p2?p?E??Ek?????p??p?m2mmee?e?。
3?192?10?1.6?10??6.63?10?23?1.24?10?15J?300.91?10
12-7．氢原子的吸收谱线??4340.5A的谱线宽度为10解：能量E?h??为：?E???2?A，计算原子处在被激发态上的平均寿命。
hc??2，由于激发能级有一定的宽度?E，造成谱线也有一定宽度??，两者之间的关系
hc?2??，由不确定关系，?E??t?/2，平均寿命???t，则：
(4340.5?10?10)2???t?????5?10?11s。 8?122?E2hc??4?c??4?3.14?3?10?10?2
?712-8．若红宝石发出中心波长??6.3?10m的短脉冲信号，时距为1ns(10?9s)，计算该信号的波长宽度??。
解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：?x?c?t，
由不确定关系：?px??x?2，有：?x?2?px??2?2?
4?????(6.3?10?7)2∴?????1.323?10?3nm。 8?9c?t3?10?10?2
12-9．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为?L???h，式中?L为粒子角动量的不确定度，??为粒子角位置的不确定度。
证明：当粒子做圆周运动时，设半径为r，角动量为：L?rmv?rp，
则其不确定度?L?r?P，而做圆周运动时：?x?r??， 利用：?P??x?h代入，可得到：?L???h。
12-10．计算一维无限深势阱中基态粒子处在x?0到x?L/3区间的几率。设粒子的势能分布函数为：
?U(x)?0，0?x?L ??U(x)??，x?0和x?L解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在0?x?L之间运动时，其定态归一化的波函
?2n?sinx，0?x?L??n(x)?数为：?， ll??(x)?0，x?0和x?L?n概率密度为：Pn(x)?22n?sinx，0?x?L lll3022n?112n?sinx??sin， ?ll32n?3l?112?32sin?0.195?19.5%。 如果是基态，n?1，则Pn(x)??sin2x??0ll32?3粒子处在x?0到x?L/3区间的几率：Pn(x)?
?1412-11．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽L?10m。 （1）质子的零点能量有多大？
（2）由n?2态跃迁到n?1态时，质子放出多大能量的光子？
h22n 解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：En?8mL2h2(6.63?10?34)2?13n?1时为零点能量：E1? ??3.29?10J。2?27?1428mL8?1.67?10?(10)（2）由n?2态跃迁到n?1态时，质子放出光子的能量为：
?E?E2?E1?(22?1)E1?9.87?10?13J。
思考题12
12-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。
证明：设电子轨道的半径为rn，则电子轨道的周长为2?rn，需要证明2?rn?n?。
?0h2玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：rn?nr0?n 2?me2?0h2h1me4而电子的德布罗意波长：??（∵En?2） ?n222men8?h2mE022