【东城一模】(19)（本小题14分） 已知函数f(x)?ex?a(x?1).
若曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为0，求a的值； (Ⅱ）若f(x)?0恒成立，求a的取值范围；
(Ⅲ）求证：当aa?0时，曲线y?f(x) (x>0)总在曲线y?2?lnx的上方． 19）（共14分）
解：（I）函数f(x)?e?a(x?1)的定义域为R. 因为f(x)?e?a(x?1)，所以f'(x)?e?a. 由f'(0)?1?a?0得a?1. ……………………………4分 （II）f'(x)?e?a(x?R).
①当a?0时，令f'(x)?0得x?lna.
xxxxx?lna时，f'(x)?0；x?lna时，f'(x)?0.
f(x)在(??,lna)上单调递减，在(lna,+?)上单调递增.
所以当x?lna时，f(x)有最小值f(lna)?a?a(1?lna)??alna. “f(x)?0恒成立”等价于“f(x)最小值大于等于0”，即?alna?0. 因为a?0，所以0?a?1.
x②当a?0时，f(x)?e?0符合题意；
11?1??1?11③当a?0时，取x0??1?，则f(x0)?ea?a(?1??1)?ea?1?0，不符合
aa题意.
综上，若f(x)?0对x?R恒成立，则a的取值范围为[0,1]. ……………………9分
x（III）当a?0时，令h(x)?f(x)?(2?lnx)?e?lnx?2(x?0)，可求h'(x)?e?x1. x111x因为h'()?e2?10?0，h'(1)?e?1?0，且h'(x)?e?在(0,??)上单调递增，
x2所以在（0，+?）上存在唯一的x0，使得h'(x0)?e0?x11?0，即ex0?，且 x0x01
x h'(x) h(x) (0,x0) ? x0 0 极小 x(x0,??) ? 则当x?x0时，h(x)存在最小值h(x0),且h(x0)?e0?lnx0?2?1?x0?2. x0因为x0?(,1)，所以h(x0)?1211?x0?2?2?x0?2?0. x0x0所以当a?0时，f(x)?2?lnx(x?0)
所以当a?0时，曲线y?f(x)(x?0)总在曲线y?2?lnx的上方. .. …………14分 【西城一模】18．（本小题满分13分）
x已知函数f(x)?e?(a?1?lnx)，其中a?R． xx垂直，求a的值； e（Ⅰ）若曲线y?f(x)在x?1处的切线与直线y??（Ⅱ）当a?(0,ln2)时，证明：f(x)存在极小值．
111xx解：（Ⅰ）f(x)的导函数为f?(x)?e?(a??lnx)?e?(?2)
xxx21?ex?(a??2?lnx)．[ 2分]
xx
依题意，有 f?(1)?e?(a?1)?e，[4分]
解得a?0．[5分]
（Ⅱ）由f?(x)?ex?(a?2121x?2?lnx)及e?0知，f?(x)与a??2?lnx同号． xxxx令g(x)?a?21??lnx，[6分] xx2x2?2x?2(x?1)2?1则 g?(x)?．[8分] ?x3x3所以对任意x?(0,??)，有g?(x)?0，故g(x)在(0,??)单调递增．[9分] 11因为a?(0,ln2)，所以g(1)?a?1?0，g()?a?ln?0，
221故存在x0?(,1)，使得g(x0)?0．[11分]
21f(x)与f?(x)在区间(,1)上的情况如下：
2x f?(x) f(x) 1(,x0) 2? x0 0 (x0,1) + ↗ ↘ 极小值 1所以f(x)在区间(,x0)上单调递减，在区间(x0,1)上单调递增．
2所以f(x)存在极小值f(x0)．[13分