课时跟踪检测（四十七）系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆
的位置关系
[A级 保分题——准做快做达标]
1．(2020·昆明模拟)若点A，B在圆O：x＋y＝4上，弦AB的中点为D(1,1)，则直线
2
2
AB的方程是( )
A．x－y＝0 C．x－y－2＝0
B．x＋y＝0 D．x＋y－2＝0
解析：选D 因为直线OD的斜率kOD＝1，所以直线AB的斜率kAB＝－1，所以直线AB的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，故选D.
2．(2020·湖北七校联考)若圆O1：x＋y＝5与圆O2：(x＋m)＋y＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )
A．3 C．23
B．4 D．8
2
2
2
2
解析：选B 由题意知O1(0,0)与O2(－m,0)，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，|AB|2
可得5＜|m|＜35.再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m＝5＋20＝25，∴m＝±5，∴×5＝225×5，解得|AB|＝4.故选B.
3．(2020·四川教育联盟考试)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x＋y－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为( )
A．(－∞，2) C．(－∞，－6)
2
2
2
2
B．(2，＋∞) D．(－6，＋∞)
解析：选C ∵x＋y－2x－2y＋b＝0表示圆，∴2－b＞0，即b＜2.∵直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x＋y－2x－2y＋b＝0的内部，∴6＋b＜0，解得b＜－6.综上，实数b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.
4．(2020·重庆一中模拟)若圆x＋y＋2x－6y＋6＝0上有且仅有三个点到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，则实数a的值为( )
A．±1
B．±
2
43 2
2
2
2
2
C．±2 D．±
解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直|－1＋3a＋1|
线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，即＝1，解得21＋a第1页 共5页
a＝±
2. 4
5．(2020·昆明高三质检)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x＋(y－3)＝6相交于A，
22
B两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为( )
A．3＋6或3－6 C．9或－3
B．3＋26或3－26 D．8或－2
解析：选A 由题知圆C的圆心为C(0,3)，半径为6，取AB的中点为D，连接CD，则
CD⊥AB，在△ACD中，AC＝6，∠ACD＝60°，所以CD＝
|－3＋m|
3
6＝，解得m＝3±6，故选A. 22＋1
6
，由点到直线的距离公式得2
6．(2020·陕西渭南模拟)已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x＋y＝4相离，则△ABC是( )
A．直角三角形 C．钝角三角形
B．锐角三角形 D．以上情况都有可能
|2c|
2
2
解析：选C 由已知得圆心(0,0)到直线ax＋by＋2c＝0的距离d＝
2
2
2
a＋b22＞2，所以
a2＋b2－c2
c＞a＋b，在△ABC中，cos C＝＜0，所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形．
2ab7．(2020·武汉模拟)若直线2x＋y＋m＝0过圆x＋y－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为________．
解析：圆x＋y－2x＋4y＝0可化为(x－1)＋(y＋2)＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x＋y＋m＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m＝0，得m＝0.
答案：0
8．(2020·成都摸底)已知圆C：x＋y－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.
解析：圆C：x＋y－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝－1，所以|MC|＝13，|MP|＝13－4＝3.
答案：3
9．(2020·广西两市联考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为23，则圆C的标准方程为____________________．
解析：设圆心为(a，b)(a＞0，b＞0)，半径为r，则由题可知a＝2b，a＝r，r＝b＋3，解得a＝r＝2，b＝1，所以所求的圆的方程为(x－2)＋(y－1)＝4.
答案：(x－2)＋(y－1)＝4
2
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22
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10．(2020·广东佛山一中检测)已知圆C经过点(0,1)且圆心为C(1,2)． (1)写出圆C的标准方程；
(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．
解：(1)由题意知，圆C的半径r＝为(x－1)＋(y－2)＝2.
(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P(2，－1)的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx|－k－3|
－y－2k－1＝0，则＝2， 2
1＋k所以k－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1， 故所求切线的方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0. 由圆的性质易得所求切线长为PC－r＝
2
2
2
22
2
1－0
2
＋2－1
2
＝2，所以圆C的标准方程
2－1
2
＋－1－2
2
－2＝22.
11．(2020·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程． 解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2. 由?
??x＝my＋2，??y＝2x2
y22
可得y－2my－4＝0，则y1y2＝－4.
2
又x1＝，x2＝，故x1x2＝
22
y21y1y2
4
2
＝4.
y1y2－4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆Mx1x24
上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m＋4，故圆心M的坐标为(m＋2，
2
2
m)，
圆M的半径r＝
m2＋2
2
＋m.
2
―→―→
由于圆M过点P(4，－2)，因此AP·BP＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)知y1y2＝－4，x1x2＝4.
12
所以2m－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
2
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10，
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