初中数学竞赛辅导讲义及习题解答
学历训练
1．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB= ． 2．阅读下面材料：
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．
例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．
回答下列问题：
(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm； (2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm； (3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm． (2003年南京市中考题) 3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．
(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 (分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．
(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．
a．是轴对称图形但不是中心对称图形． b．既是轴对称图形又是中心对称图形．
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为( )
A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm
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5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB的半径为5，弦AB＝8，则弓形的高CD为( )
A．2 B．
516 C．3 D． 23
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AB⌒⌒6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧、CD、EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与
E的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD=F C． AB+CD 为 AmB⌒ 上的一点， 8．如图，已知⊙O的两条半径OA与OB互相垂直，C且AB2+OB2=BC2， 求∠OAC的度数． 9．不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l，垂足为E，BF⊥l，垂足为F． (1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 10．以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且OC2＝AC×BC， 则∠CAB= ． ⌒ 2 11．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在BC的中点A′上，若BC=5，则折痕在△ABC内的部分DE长为 ． 12．如图，已知AB为⊙O的弦，直径MN与AB相交于⊙O内，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=86，则MC—ND= ． ⌒ 13．如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96°，BD的度数为36°，动点P在AB上，则CP+PD的最小值为 ． 14．如图1，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP×OP′=r2，这种把点P变为点P′的变换叫作反演变换，点P与点P′叫做互为反演点． (1)如图2，⊙O内外各有一点A和B，它们的反演点分别为A′和B′，求证：∠A′=∠B； (2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形． ①选择：如果不经过点O的直线与⊙O相交，那么它关于⊙O的反演图形是( ) A．一个圆 B．一条直线 C．一条线段 D．两条射线 ②填空：如果直线l与⊙O相切，那么它关于⊙O的反演图形是 ，该图形与圆O的位置关系是 ． 15．如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，AB=BD，且PC=0．6，求四边形ABCD的周长． 为 BAC⌒ 的中点， 16．如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，DDE⊥AB于E，求证：BD2-AD2=AB ×AC． 17．将三块边长均为l0cm的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm) 18．如图，直径为13的⊙O′，经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2?kx?60?0的两根． 3