第三章 数列
复习指导
1．数列在近几年高考中的地位
高考历来把数列当作重要的内容来考查，对这部分的要求达到相应的深度，题目有适当的难度和一定的综合程度．数列问题在考查演绎推理能力中发挥着越来越重要的作用．
选择、填空题中主要考查课本中学习的等差数列与等比数列的概念和性质、通项公式、前n项和公式等知识．
使用解答题形式考查数列的试题中，有的是从等差数列或等比数列入手构造新的数列，有的是从比较抽象的数列入手，给定数列的一些性质，要求考生进行严格的逻辑推证，找到数列的通项公式，或证明数列的其他性质．其内容往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现对解决综合问题的考查力度．
高考在考查数列内容时，考虑到文、理科考生在能力上的差异，一般命制不同的试题进行考查，理科侧重于理性思维，以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主；而文科侧重于基础知识和基本方法的考查，以等差数列、等比数列为主，以具体思维、演绎思维为主．
2．复习指导
数列是一种特殊的函数，因此要注意用函数的思想方法研究数列问题．又因为数列自变量的特殊性和其有序性以及数列独特的递推关系，因此研究数列问题又有其独特的方法．
等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，应将它们对比起来复习，以进一步认识它们的区别与联系．
在复习时，要在正确理解和掌握等差数列与等比数列的有关知识内容的基础上，强调对研究数列的一般数学思想和方法的掌握，如：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想等．另外，还要加强分析思维能力、逻辑推理能力等数学能力的训练，从而提高解决数列问题的能力．
3.1 数列的概念
课前回顾
一、知识要点与能力要求
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．
2．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 二、要点梳理及基础解说
1．按照 排成的一列数叫做数列．数列中的 都叫做数列的项．
2．如果数列?an?的 与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
3．从函数的观点看，数列可以看成是 的函数当 时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是 ．
由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是 ．
4．如果an是数列的第n项，数列的一般形式可以写成 ，简记作 ．
5．如果已知数列?an?的 ，且 与 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．
6．数列?an?的前n项和Sn与an的关系是an? ． 三、基础自测 1．数列?1，
81524，?，，?的一个通项公式是 ( D ) 597nn2?nnn(n?3) A．an?(?1) B．an?(?1)
2n?12n?1(n?1)2?1nn(n?2) C．an?(?1) D．an?(?1) 2n?12n?1n2．已知数列{an}满足a1?1，an?1?11an?，则此数列的第三项是( C ) 22n135A．1 B． C． D．
2483．已知数列?an?的前n项和Sn?n(n?40)，则下列判断正确的是（ Ｃ ）
A．a19?0,a21?0 B．a20?0,a21?0 C．a19?0,a21?0 D．a19?0,a20?0
4．已知数列{an}的通项为an?n?an(0?a?1)，且an?an?1对所有正整数n均成立，则实 数a的取值范围是（ B ）
A．(0,) B．(0,) C．(,1) D．[,1) 5．已知数列?an?的前n项和Sn?3?2n，则an? ．an??1e121e12??5,?n?1? n?1??2,?n?2?课上探究
题型一：根据数列前几项，归纳数列的通项公式
一、典型例题
例1．根据下面数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：
（1）
246810,,,,,?； 37111519（2）0.9,0.99,0.999,0.9999,?.； （3）0,2,0,2,?；
（4）3,5,9,17,33,?；
381524,?．
4916252nn答案：（1）an?；（2）an?1??0.1?；（3）an?1?(?1)n；（4）an?2n?1；（5）
4n?1（5）0,,,n2?1an?2．
n二、拓展练习
1．根据下面数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： （1）
1111?1,?1,?1,?1,?； 2468（2）7,77,777,7777,?； （3）
1925,2,,8,,?； 222（4）1,3,3,5,5,7,7,9,9,?； （5）
3112971,,,,?． 2481617n21?(?1)nn?1n???1?；答案：（1）an?（2）an??10?1?；（3）an?； （4）an?n?；2n922（5）an?n?2n?1． 2n三、方法归纳
1．通过观察、分析、比较、归纳得到项与项数之间的关系，但结论不一定唯一； 2．如果关系不明显，可将各项作适当变形；
3．借助一些基本数列的通项公式，如：偶数数列、奇数数列、正整数平方数列等．
题型二：已知数列的递推公式，探求数列的通项公式
一、典型例题
例2．数列?an?满足a1?3,an?an?1?2n?1(n?2)，求数列?an?的通项． 解法一：由已知得a1?3,a2?5,a3?9,a4?17,a5?33，由此猜想：an?2n?1． 下面用数学归纳法证明（略）
说明：归纳、猜想、证明，是解决此类问题最一般的方法．
解法二：由已知得a1?3，a2?a1?2，a3?a2?2，?，an?an?1?2(n?2)，
以上各式相加得：an?3?2?2?2???2又a1?3?2?1，∴an?2n?1（n?N）．
*2n23n?12n?1?2n?1（n?2）?2?． 2?11解法三：由an?an?1?2n(n?2)，得an?2n?an?1?2n?(n?2)n，∴an?2为常数数列，
??∴an?2n?a1?2?1，∴an?2n?1（n?N）． 解法四：由an?an?1?2n(n?2)，得
∴
*an1an?1?1?(2n22n?1an1an?11???(n?2)， 2n22n?12a1?1)(n?2)，又1?1?，
22∴?an11?an?*n?1?n?N是首项和公比都是的等比数列，∴，∴（）． ?1a?2?1?nnnn222?2?二、拓展练习
2．已知数列{an}满足a1?0,an?1?an?33an?1(n?N*)，则a2011?（A ）
3 2
A．0 B．?3 C．3 D．
三、方法归纳
已知数列的递推公式求数列的通项公式的方法一般分两类：
1．先根据递推公式求出数列的前几项，再根据其特点归纳猜想出数列的通项公式，最后用数学归纳法证明；
2．将已知的递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形，然后采用叠加法、迭代法或转化为基本数列等方法，求得通项公式（这类方法将在后面做专题复习）．
题型三：数列的通项an与前n项和Sn的关系问题
一、典型例题
例3．已知数列{an}前n项和为Sn．
（1）若Sn?2n2?3n?5，则an? ； （2）若Sn?3n?1，则an? ． 答案：（1）an??(n?1)?4；（2）an?2?3n?1．
?4n?5(n?2)2n?1 例4．设数列?an?满足a1?4a2?4a3???4项公式．
解：a1?4a2?4a3???422n?1an?n*（n?N）．求数列?an?的通4nan?，
4an?1?n?1?n?2?， 4∴a1?4a2?4a3???4n?2