2013-2014学年山东省菏泽市高二（下）期末数学试卷（理
科）
一.选择题（每小题5分，共50分） 1．（5分）复数
的共轭复数是（ ）
A． i+2 B． i﹣2 C． ﹣2﹣i D．2﹣i 2．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度 B． 假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D． 假设三内角至多有两个大于60度 3．（5分）函数f（x）=2x﹣sinx在（﹣∞，+∞）上（ ） A．有最小值 B． 是减函数 C． 有最大值 D．是增函数 4．（5分）用数学归纳法证明1+a+a+…+a
2
n+1
=（a≠1，n∈N），在验证当n=1时，
*
等式左边应为（ ）
223
A． 1 B． 1+a C． 1+a+a D．1+a+a+a
3
5．直线y=4x与曲线y=x在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A． 2 B． 4 C． 2 D．4
2x
6．（5分）曲线y=e在点（0，1）处的切线方程为（ ） A． y=x+1
B． y=﹣2x+1
C． y=2x﹣1
D．y=2x+1
7．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如图的2×2列联表． 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 5 25 男生 20 15 25 女生 10 50 50 合计 30 则至少有（ ）的把握认为喜爱打篮球与性别有关．附参考公式：K=
2
20.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K＞k0） 0.10 2.706 3.841 3.004 6.615 7.789 10.828 k0 A． 95% B． 99% C． 99.5% D．99.9% 8．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ） A． 12 B． 18 C． 24 D．48 9．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）
A． 10
10．（5分）已知
B． 9 C． 8 D．7
，则导函数f′（x）是（ ）
A．仅有最小值的奇函数 B． 既有最大值，又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数 D． 既有最大值，又有最小值的奇函数
二.填空题（每小题5分，共25分） 11．（5分）某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（结论写成小数的形式） _________ ． 12．（5分）如果随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则P等于 _________ ． 13．（5分）下列说法正确的是 _________ ． ①6名学生争夺3项冠军，冠军的获得情况共有3种． ②设a，b∈R，“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件．
108
③（2+3x）的展开式中含有x的项的系数与该项的二项式系数相同． 14．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么
3
x=x0是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0
3
是函数f（x）=x的极值点．”以上推理中 （1）大前提错误 （2）小前提错误 （3）推理形式正确 （4）结论正确
你认为正确的序号为 _________ ．
32
15．（5分）已知函数f（x）=ax+bx+cx+d的图象与x轴有三个不同交点（0，0），（x1，0），（x2，0），且f（x）在x=1，x=2时取得极值，则x1?x2的值为 _________ ． 三.解答题（共6小题，共74分）
16．（12分）（Ⅰ）已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），若z+a+b=3﹣3i，求实数a，b的值． （Ⅱ）求二项式（
17．（12分）对于任意正整数n，猜想2
3
2
n﹣1
2
6
+）展开式中的常数项．
10
与（n+1）的大小关系，并给出证明．
2
18．（12分）设函数f（x）=ax+bx+c，其中a+b=0，a，b，c均为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1=0． （Ⅰ）求a，b，c的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间． 19．（12分）第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京召开．为了做好两会期间的接待服务工作，中国人民大学学生实践活动中心从7名学生会干部（其中男生4人，女生3人）中选3人参加两会的志愿者服务活动． （1）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望： （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
20．（13分）已知函数f（x）=x+2alnx．
2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．
21．（14分）某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为[80，90）、[90，100）、[100，110）、[110，120）、[120，130），由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：
（Ⅰ）完成下面2×2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由； 成绩小于100分 成绩不小于100分 合计 甲班 a= _________ b= _________ 50 d=26 50 乙班 c=24 合计 e= _________ f= _________ 100 （Ⅱ）现从乙班50人中任意抽取3人，记ξ表示抽到测试成绩在[100，120）的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ． 附：K=
2P（K≥k0） 0.15 2.072 k0 2
，其中n=a+b+c+d
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.204 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828
高二数学（理）试题参考答案
一、选择题
1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题
111．0.648 12． 13．② 14．（1）（3） 15．6
7三、解答题
16．解：（Ⅰ）z2??1?i???2i， ………………………………………………………… 2分
由z2?az?b?3?3i得?2i?a?1?i??b?3?3i， 即?a?b???a?2?i?3?3i，所以??a?b?3，解得a??1，b?4； ……6分
a?2??3?r1010?r22（Ⅱ）设该展开式中第r?1项中不含x则Tr?1?Cx分
依题意，有
10?5r．4分 ?0，r?2．…………．
2·(3x)2?r?C3·xr10?r10?5r2……2
2?2所以，展开式中第三项为不含x的项，且T3?C103?5． ……………… 6分
17．解：n?1,2,3,,6时，2n?1??n?1?；………………………………………………… 2分
22n?7时，2n?1??n?1?；
2n?8,9,10......,时，2n?1??n?1?，
2猜想n?8时，2n?1??n?1?． …………………………………………………… 4分 证明：①当n?8时，由以上知结论成立； ②假设当n?k?k?8?时，2k?1??k?1?， 则n?k?1时，2?k?1??1?21??k?1??2?2k?1?2?k?1?
22而2?k?1???k?2??k2?2，
因为k?9，故k2?2?0，所以2?k?1???k?2??0，
即2?k?1???k?2?， 即2?k?1??1??k?2?????k+1?+1??，即n?k?1时，结论成立，
22222222由①，②知，对任意n?8，结论成立．
18．解：（Ⅰ）因为 f?(x)?3ax2?2bx，
所以f?(1)?3a?2b，又因为切线x+y=1的斜率为?1，所以3a?2b??1,a?b?0,