§2-3拉普拉斯变换及其应用
时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种.
一、拉氏变换的定义
已知时域函数
，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换
称为象函数，变量为复变量，表示
是复变函数。
为 (2-45)式中，
称为原函数，
为 (2-46)因为
是复自变量的函数，所以
有时，拉氏变换还经常写为
(2-47)
拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为
(2-48)上式为复变函数积
分，积分围线为由二、常用信号的拉氏变换
系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复
习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号
理想单位脉冲信号的数学表达式为
到
的闭曲线。
(2-49) 且 (2-50)
所以
(2-51) 说明：单位脉
冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为
，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，
高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数
表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因
此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是氏变换定义式中的积分下限是下限根据应用的实际情况有
。由此，特别指明拉
,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分，，
三种情况。为不丢掉信号中位于。
处
可能存在的脉冲函数，积分下限应该为
(2)单位阶跃信号
单位阶跃信号的数学表示为
(2-52) 又经常写为
(2-53)
由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为
(2-54) 因为
阶跃信号的导数在积分下限规定为(3)单位斜坡信号
。
处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其
单位斜坡信号的数学表示为
(2-55)
图2-15单位斜坡信号