初中、高中、教案、习题、试卷
方案设计
1. （2018?福建 A 卷?10 分）如图，在足够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人利用旧墙 和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，其中 AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏．
（1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米，求所利用旧墙 AD 的长；
（2）求矩形菜园 ABCD 面积的最大值．
【分析】（1）设 AB=xm，则 BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到 x（100﹣2x）=450，解 方程得 x1=5，x2=45，然后计算 100﹣2x 后与 20 进行大小比较即可得到 AD 的长； （2）设 AD=xm，利用矩形面积得到 S=
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x（100﹣x），配方得到 S=﹣（x﹣50）+1250，讨论： 2212
a． 2当 a≥50 时，根据二次函数的性质得 S 的最大值为 1250；当 0＜a＜50 时，则当 0＜x≤a 时，根 据二次函数的性质得 S 的最大值为 50a﹣
【解答】解：（1）设 AB=xm，则 BC=（100﹣2x）m， 根据题意得 x（100﹣2x）=450，解得 x1=5，x2=45， 当 x=5 时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当 x=45 时，100﹣2x=10， 答：AD 的长为 10m；
（2）设 AD=xm， ∴S=2
11x（100﹣x）=﹣（x﹣50）22+1250，
当 a≥50 时，则 x=50 时，S 的最大值为 1250；
当 0＜a＜50 时，则当 0＜x≤a 时，S 随 x 的增大而增大，当 x=a 时，S 的最大值为 50a﹣综上所述，当 a≥50 时，S 的最大值为 1250；当 0＜a＜50 时，S 的最大值为 50a﹣
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a， 212a． 2
【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式， 然后确定其最大值，实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值 时，一定要注意自变量 x 的取值范围．
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2.（2018?福建 B 卷?10 分）空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩 形菜园 ABCD，已知木栏总长为 100 米．
（1）已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏，且围成的矩形菜园面积为
450 平方米．
如图 1，求所利用旧墙 AD 的长；
（2）已知 0＜α ＜50，且空地足够大，如图 2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使 得所围成的矩
形菜园 ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．
图1 图2
【分析】（1）按题意设出 AD，表示 AB 构成方程；
（2）根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数量关 系．
【解答】解：（1）设 AD=x 米，则 AB=依题意得，
解得 x1=10，x2=90 ∵a=20，且 x≤a
∴x=90 舍去
∴利用旧墙 AD 的长为 10 米．
（2）设 AD=x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米 ①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意 得： S=
100?x米 2x(100?x)?450 2x(100?x)1??(x?50)2?1250，0＜x＜a 22∵0＜α ＜50
∴x＜a＜50 时，S 随 x 的增大而增大 当 x=a 时，S 最大=50a﹣a2
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②如按图 2 方案围成矩形菜园，依题意得 S=
x(100?a?2x)aaa??[x?(25?)]2?(25?)2，a≤x＜50+
2442a100＜50 时，即 0＜a＜时， 43当 a＜25+则 x=25+
a时， 4a210000?200a?a2S 最大=（25+）=
416当 25+
a100≤a，即?ap50时，S 随 x 的增大而减小 43a(100?a?2a)1?50a?a2
22100时， 3∴x=a 时，S 最大=
综合①②，当 0＜a＜
110000?200a?a2﹣（50a?a2）
216(3a?100)2=f0
16110000?200a?a2＞50a?a2，此时，按图 2 方案围成矩形菜园面积最大，最大面积
21610010000?200a?a2为平方米 当?ap50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
316100a∴ 当 0 ＜ a ＜ 时 ，围成长 和宽均为 （ 25+ ）米的 矩形菜园 面积最 大，最 大面积
3410000?200a?a2为 平方米；
16100a当?ap50时，围成长为 a 米，宽为（50﹣）米的矩形菜园面积最大，最大面
321积为（50a?a2）平方米．
2【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类 讨论变量大小关系．
3.（2018·湖南怀化·10 分）某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购 进 A，B 两种树苗，共 21 棵，已知 A 种树苗每棵 90 元，B 种树苗每棵 70 元．设购买 A 种树苗 x