初中、高中、教案、习题、试卷
方案设计
1. (2018?福建 A 卷?10 分)如图,在足够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN,某人利用旧墙 和木栏围成一个矩形菜园 ABCD,其中 AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了 100 米木栏.
(1)若 a=20,所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米,求所利用旧墙 AD 的长;
(2)求矩形菜园 ABCD 面积的最大值.
【分析】(1)设 AB=xm,则 BC=(100﹣2x)m,利用矩形的面积公式得到 x(100﹣2x)=450,解 方程得 x1=5,x2=45,然后计算 100﹣2x 后与 20 进行大小比较即可得到 AD 的长; (2)设 AD=xm,利用矩形面积得到 S=
112
x(100﹣x),配方得到 S=﹣(x﹣50)+1250,讨论: 2212
a. 2当 a≥50 时,根据二次函数的性质得 S 的最大值为 1250;当 0<a<50 时,则当 0<x≤a 时,根 据二次函数的性质得 S 的最大值为 50a﹣
【解答】解:(1)设 AB=xm,则 BC=(100﹣2x)m, 根据题意得 x(100﹣2x)=450,解得 x1=5,x2=45, 当 x=5 时,100﹣2x=90>20,不合题意舍去; 当 x=45 时,100﹣2x=10, 答:AD 的长为 10m;
(2)设 AD=xm, ∴S=2
11x(100﹣x)=﹣(x﹣50)22+1250,
当 a≥50 时,则 x=50 时,S 的最大值为 1250;
当 0<a<50 时,则当 0<x≤a 时,S 随 x 的增大而增大,当 x=a 时,S 的最大值为 50a﹣综上所述,当 a≥50 时,S 的最大值为 1250;当 0<a<50 时,S 的最大值为 50a﹣
12
a, 212a. 2
【点评】本题考查了二次函数的应用:解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式, 然后确定其最大值,实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值 时,一定要注意自变量 x 的取值范围.
初中、高中、教案、习题、试卷
2.(2018?福建 B 卷?10 分)空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩 形菜园 ABCD,已知木栏总长为 100 米.
(1)已知 a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了 100 米木栏,且围成的矩形菜园面积为
450 平方米.
如图 1,求所利用旧墙 AD 的长;
(2)已知 0<α <50,且空地足够大,如图 2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使 得所围成的矩
形菜园 ABCD 的面积最大,并求面积的最大值.
图1 图2
【分析】(1)按题意设出 AD,表示 AB 构成方程;
(2)根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数量关 系.
【解答】解:(1)设 AD=x 米,则 AB=依题意得,
解得 x1=10,x2=90 ∵a=20,且 x≤a
∴x=90 舍去
∴利用旧墙 AD 的长为 10 米.
(2)设 AD=x 米,矩形 ABCD 的面积为 S 平方米 ①如果按图一方案围成矩形菜园,依题意 得: S=
100?x米 2x(100?x)?450 2x(100?x)1??(x?50)2?1250,0<x<a 22∵0<α <50
∴x<a<50 时,S 随 x 的增大而增大 当 x=a 时,S 最大=50a﹣a2
13初中、高中、教案、习题、试卷