课时1 直线与圆锥曲线
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
π
例1 (1)过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交
496点情况是________(填序号). ①没有交点； ②只有一个交点；
③有两个交点且都在左支上； ④有两个交点分别在左、右两支上.
(2)(2014·湖北改编)设a，b是关于t的方程tcos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则过
2
x2y2
A(a，a)，B(b，b)两点的直线与双曲线
答案 (1)④ (2)0
22
－＝1的公共点的个数为________. 22
cosθsinθx2y2
3xy2
解析 (1)直线l的方程为y＝(x＋13)，代入C：－＝1，整理得23x－813x－160
349＝0，Δ＝(－813)＋4×23×160>0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上.
(2)关于t的方程tcos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根为0，－tan θ(tan θ≠0)，则过
22
22
A，B两点的直线方程为y＝－xtan θ，双曲线
－＝1的渐近线方程为y＝±xtan 22
cosθsinθx2y2
θ，所以直线y＝－xtan θ与双曲线没有公共点.
x2y2
(3)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点
abP(0,1)在C1上.
①求椭圆C1的方程；
②设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y＝4x相切，求直线l的方程.
解 ①根据椭圆的左焦点为F1(－1,0)，知a－b＝1，又根据点P(0,1)在椭圆上，知b＝1，所以a＝2，所以椭圆C1的方程为＋y＝1.
2②因为直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切， 所以其斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)， 代入椭圆方程得＋(kx＋m)＝1，
2
2
2
2
x2
2
x2
2
?12?22
即?＋k?x＋2kmx＋m－1＝0， ?2?
由题意可知此方程有唯一解，
?12?222
此时Δ＝4km－4?＋k?(m－1)＝0，
?2?
即m＝2k＋1.①
把y＝kx＋m(k≠0)代入抛物线方程得y－y＋m＝0，由题意可知此方程有唯一解，此时Δ＝
41－mk＝0， 即mk＝1.②
??m＝2k＋1，
联立①②得?
?mk＝1，?
2
2
2
2
k2
12
解得k＝，
2
2?
?k＝，2所以???m＝2，
2?
?k＝－，
2或?
??m＝－2，
所以直线l的方程为y＝
22
x＋2或y＝－x－2. 22
思维升华 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数.对于填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解.
已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝42
1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
x2y2
y＝2x＋m， ①??22
得方程组?xy＋＝1， ②??42
2
2
将①代入②，整理得9x＋8mx＋2m－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)－4×9×(2m－4)＝－8m＋144.
(1)当Δ>0，即－32 (2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m<－32或m>32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点. 题型二 弦长问题 2 2 2 x2y22 例2 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1) ab2 与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为10 时，求k的值. 3 a＝2，??c2 解 (1)由题意得?＝， a2??a＝b＋c， 2 2 2 解得b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1. 42 x2y2