第八章 多元函数微分法及其应用练习题
1、求二元函数f(x,y)?arcsin(3?x2?y2)x?y2的定义域。
x2?y22、已知函数f(x?y,x?y)?2, 求f(x,y)。
x?y23、若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0,y0)时, 函数f(x,y)都趋向于A, 能否断定
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A?
4、证明 limx?0y?0xy 不存在。 22x?yx3yx?y625、证明 limx?0y?0不存在。
?x3?y3,(x,y)?(0,0)?6、讨论二元函数f(x,y)??x2?y2在(0,0)处的连续性。
?0,(x,y)?(0,0)??xy222,x?y?0?247、讨论函数f(x,y)??x?y的连续性。
?2x?y2?0?0,8、求z?x?3xy?y在点(1, 2)处的偏导数。 9、设z?xy(x?0,x?1), 求证
222x?z1?z??2z。 y?xlnx?yz10、求三元函数u?sin(x?y?e)的偏导数。 11、求r?x2?y2?z2的偏导数。
?xy,(x,y)?(0,0)?12、函数 f(x,y)??x2?y2 的偏导数fx(0,0),fy(0,0)存在，但f(x,y)在
?0,(x,y)?(0,0)?(0,0)点不连续。
?2z?2z?2z?2z?3z13、设z?4x?3xy?3xy?x?y, 求2,,,,.
?x?y?x?x?y?y2?x332214、设 u?eaxcosby, 求二阶偏导数。
15、求z?xln(x?y)的二阶偏导数。
?2u?2u16、验证函数 u(x,y)?lnx?y满足方程2?2?0。
?x?y221?2u?2u?2u22217、证明函数u?满足拉普拉斯方程2?2?2?0,其中 r?x?y?z。
r?x?y?z?x2?y2?xy,(x,y)??0,0?18、设 f(x,y)??x2?y2 , 试求 fxy?0,0?及fxy?0,0?. ?0,(x,y)??0,0??19、求函数z?4xy3?5x2y6的全微分。 20、计算函数z?e在点(2, 1)处的全微分。 21、求函数 u?x?sinyzxyy?eyz的全微分。 222、求函数u?x的偏导数和全微分。
?x2y,x2?y2?0?4223、讨论函数z??x?y在点(0, 0)处函数的全微分是否存在?
?0,x2?y2?0?dz. dt?z?z25、设z?eusinv,而u?xy,v?x?y, 求和.
?y?x24、设z?uv?sint,而u?et,v?cost, 求导数26、求z?(3x?y)224x?2y的偏导数。
, z?x2siny。 求
?u?u和. ?y?x27、设u?f(x,y,z)?ex2?y2?z2y2?z?z3??(xy),?为可微的函数, 求证 x2?xy?y2?0. 28、设z??x?y22x?z?2z29、设z?f(e,x?y), 其中f(?,?)有连续的二阶偏导数, 求,2.
?y?yxy22?2w?w30、设w?f(x?y?z,xyz), 其中函数f有二阶连续偏导数，求和。
?x?z?xx31、利用一阶全微分形式的不变性求函数 u?2 的偏导数。
x?y2?z232、求函数 z?arctanx?y的全微分。 1?xy?z?z和。 ?y?x?w?w?w,,. 34、设w?f(x?xy?xyz), 求
?x?y?z33、已知e?xy?2z?ez?0, 求
35、设u?sinx?F(siny?sinx),其中F是可微函数, 证明
?u?ucosy?cosx?cosx?cosy. ?x?y?2z. 36、设z?f(u,x,y),u?xe, f具有二阶连续偏导数, 求
?x?yy37、求由方程xy?ex?ey?0所确定的隐函数y的导数
dydy,dxdxx?0.
38、求由方程z3?3xyz?a3(a是常数）所确定的隐函数z?f(x,y)的偏导数
?z?z和. ?y?x?2z. 39、设x?y?z?4z?0, 求 ?x222240、设z?f(x?y?z,xyz), 求
?z?x?y,,. ?x?y?z?z?z??1. ?x?y41、设F(x?y,y?z,z?x)?0,其中F具有连续偏导数，且F2??F3??0,求证?2z?2z, . 42、设方程 x?y?z?e确定了隐函数z?z(x,y),，求2,
?x?y?y2?xz?2z43、设u?f(x,y,z)?xyz,而z是由方程x3?y3?z3?3xyz?0所确定的x,y的函数，求
?u. ?x44、设 u?f(x,y,z),其中f,?具y?sinx,z?z(x,y)由方程 ?(x2,ey,z)?0确定，
有一阶连续的偏导数，且
??du?0, 求 . ?zdx?u2?v2?x2?y?0,?x?y,. 45、设 ? 求
?u?u??u?v?xy?1?0,46、设??xu?yv?0,?u?u?v?v,,. 求,?x?y?x?y?yu?xv?1,2y??0, 47、设u?f(x,y,z),?(x,e,z)?0,y?sinx,其中f,?具有连续的偏导数且?3求
du. dx2??u?u(x,y),?u?v?u?v?x??u?v,,,. 48、设方程组?确定反函数组 求?2?x?x?y?y??v?v(x,y),?y?u?v49、设
?z?zx?y?????,其中?为可微函数, 求x?y。
?x?yz?z?50、设f(x,y,z)?x3y2z2,其中z?z(x,y)为由方程x3?y3?z3?3xyz?0所确定的隐函数, 试求fx?(?1,0,1).
51、设y?f(x,t),而t是由方程F(x,y,t)?0所确定的x,y的函数, 试求52、求曲线x?dy. dx?t0eucosudu,y?2sint?cost,z?1?e3t在t?0处的切线和法平面方程。
?x2?z2?1053、求曲线?2在点(1,1,3)处的切线及法平面方程。 2?y?z?1054、求曲线x2?y2?z2?6,x?y?z?0在点(1,?2,1)处的切线及法平面方程。 55、求出曲线y??x2,z?x3上的点，使在该点的切线平行于已知平面x?2y?z?4. 56、求旋转抛物面z?x2?y2?1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程。 57、求曲面 z?ez?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面及法线方程。
58、求曲面 x2?2y2?3z2?21平行于平面x?4y?6z?0的各切平面方程。
59、求曲面x2?y2?z2?xy?3?0上同时垂直于平面z?0与x?y?1?0的切平面方程。
2360、求曲线x?t,y?t,z?t在对应于t?1的点处的切线方程及法平面方程。
61、若平面3x??y?3z?16?0与椭球面3x?y?z?16相切, 求?. 62、求函数z?xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,?1)的方向的方向导数。
?63、求函数f(x,y)?x?xy?y在点(1,1)沿与x轴方向夹角为?的方向射线l的方向导数。
22222并问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?
64、求函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数。 ??65、求f(x,y,z)?xy?yz?zx在点(1,1,2)沿方向l的方向导数, 其中l的方向角分别为60
度, 45度, 60度。
66、 (1) 求grad1x2?y2. (2) 设f(x,y,z)?x2?y2?z2, 求gradf(1,?1,2)。
67、求函数u?x2?2y2?3z2?3x?2y在点(1,1,2)处的梯度, 并问在哪些点处梯度为零? 68、求函数u?xy2?z3?xyz在点P0(1,1,1)处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少。
69、函数z?f(x,y)?x2?y2在(0,0)点处的偏导数是否存在?方向导数是否存在? 70、求函数u?xy?yz?xz在点P(1,2,3)处沿P点的向径方向的方向导数。 71、求函数f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x的极值。 72、求函数f(x,y)?(x2?y2)2?2(x2?y2)的极值。
?y?2x?y?x?373、求两直线?与?之间的最短距离。
z?x?1z?x??74、某厂要用铁板做成一个体积为2m的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省。
75、求函数u?xyz在附加条件1/x?1/y?1/z?1/a ?x?0,值。
76、求表面积为a而体积为最大的长方体的体积。
23y?0,z?0,a?0?下的极