习题解答
4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为
U0，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为 ① ?(0,y)??(a,y)?0 ② ?(x,0)?0 ③
?(x,b)?U0
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
y ?(x,y)??Ansinh(n?1?n?yn?x)sin()aa
b o U0 由条件③，有
a 题4.1图
U0??Ansinh(?
ax n?1n?bn?x)sin()aa
sin(两边同乘以
n?x)a，并从0到a对x积分，得到
a2U0n?xAn?sin()dx?asinh(n?ba)?a0
4U0?,n?1,3,5,?n?sinh(n?ba)2U0?(1?cosn?)??n?2,4,6,n?sinh(n?ba)?0，
?(x,y)?故得到槽内的电位分布
4U0?n?1,3,5,?1n?yn?xsinh()sin()nsinh(n?ba)aa
4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。
上板和薄片保持电位
U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y?0到
y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。
y U0 解 应用叠加原理，设板间的电位为
?(x,y)??1(x,y)??2(x,y)
其中，
boxy dxy oxy 题 4.2图
?1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为
?1(x,y)?U0yb；?2(x,y)是两个电位为零
x U0）的电位，即
的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ①
?2(x,0)??2(x,b)?0
②
?2(x,y)?0(x??)
U0?U?y??0b?2(0,y)??(0,y)??1(0,y)???U0y?U0y?b?d③
(0?y?d)(d?y?b)
??xn?y?nb?2(x,y)??Ansin()e?(x,y)的通解为 bn?1根据条件①和②，可设2
U0?U?y0?n?y??bAnsin()???bn?1?U0y?U0y?b?d由条件③有
sin(两边同乘以
d(0?y?d)(d?y?b)
n?y)b，并从0到b对y积分，得到
b2U2Uyn?y11n?yAn?0?(1?)sin()dy?0?(?)ysin()dy?2U02bsin(n?d)b0bbbddbb(n?)db
U02bU0y?2bd??(x,y)?故得到
?x1n?dn?y?nbsin()sin()e?2nbbn?1 ?
4.3 求在上题的解中，除开定出边缘电容。
U0ybCf?一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按
2WeU02解 在导体板（y?0）上，相应于
?2(x,y)的电荷面密度
???2???02?y?y?0?x2?0U0?1n?d?nb???sin(b)e?dn?1n
则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷
??x2?0U0n?d?nb4?Ub1n?d00q2???2dx?2??2dx??2??sin()edx??sin()?22n?db?dnbn?1??0n?10???
2?0bU021We?q2U0??22?d相应的电场储能为 1n?dsin()?2b n?1n?其边缘电容为
2We4?0b?1n?dCf?2?2?2sin()U0?dn?1nbU0
4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为 ① ?(0,y)??(a,y)?0
y ② ?(x,y)?0(y??) ③
?(x,0)?U0
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
o
a题4.4图
U0
a x
?(x,y)??Ane?n?yasin(n?1?n?x)a
n?x)a
由条件③，有
U0??Ansin(n?1?