振动习题

4 多自由度系统振动

4-1对指定的广义坐标?1,?2,?3,求图示三级摆,当第一、二两质量上作用有简谐激振力

F02g。 sin?t时的稳态响应,其中F0是常数,?2?25l??1??4???5F0??答案:??2???5?sin?t

4mg????6??3???

4-2图示一无质量均质简支梁,弯曲刚性常数为EJ,上有集中质量m1=m2=m3=m,在第一个质量上作用有激振力Pcos?t。假设各阶主阵型阻尼比?i?0.01(i=1,2,3)。已知激振频率??1.8768EJ,求各质量的稳态响应。 ml3

4-3在图示系统中,各质量只能沿铅垂方向运动。在质量4m上作用有铅垂激振力P0cos?t,求系统的无阻尼强迫振动的稳态响应。又若考虑到各弹性元件中的阻尼,假设振型阻尼比

?i?0.02(i=1,2,3),?2?1.25k,求系统的稳态响应。 m

34-5如图所示的汽车在Ic?mab的情形下的固有频率,设a=,b=,m?5.4?10Kg,m1=m2=650Kg,K1?K2?35KN/m,前后轮的轮胎刚度均为K=1200KN/m。 答案:

p1?2.978Hz,p2?4.658Hz, p3?43.592Hz,p4?43.596Hz。

4-6如图所示的三自由度系统,若J1?2J2,J2?2J3kt1?2kt2kt2?2kt3,求系统的固有频率及响应。

??1??0.573?????k答案:??2???1.125?t

????1.551?J?3???

4-7一发电机厂的汽轮机及其隔振系统的简化模型如图所示,

(1)导出对x-y-θ坐标的振动微分方程,并求系统的固有频率和主振型。设

s1?1s2?b?s,K1?K2?K,Io?9ms2,o点为重心,m为汽轮机的重量。 4?????(0)?y(2)计算在x(0)?y(0)??(0)?x(0)?0,y0,?(0)??0条件下的响应。

答案: 振动微分方程:

?x?3Kx?6Ks??0?m???y?3Ky?0 ?m??9ms2????6Ksx?27Ks2??0?固有频率:

p1?K3K5K,p2?,p3? mmm

4-8研究一个无阻尼三自由度系统:

?x?200?????4?10??x1??F1(t)????1?????????010x??12?1x?F(t)???2????2??2?

?002?????0?14??x??F(t)??3????x???3??3?其中{F(t)}为瞬时激振向量。 (a) 求固有频率;

(b) 确定模态向量和模态矩阵;

(c) 证明模态向量相对于矩阵M和K是正交的。 答案:

222固有频率:?1?1,?2?2,?3?3

1??11??模态矩阵:u?20?2 ????1?11??证明略。

4-9如图所示弹簧质量系统,如m1?m2?m3?m,

K1?K2?K3?K,

求其各阶固有频率及主阵型。 答案:

??1??0.445?????K频率:??2???1.247?

????1.802?m?3????0.445?1.2471.802???主阵型:{A}??0.8020.555?2.247?

?1.0001.0001.000???

4-10求如图所示的弹簧质量系统的固有频率及主阵型。设K1?6K,K2?K,M?4m。 答案: 频率:?1?K,?2??3??4?2mK3K,?5? mm?1?1?主阵型:{A}??1??1?1??21??1111??0?211?

?00?31?000?2???111

4-11如图所示的弹簧质量系统,求系统在F1(t)?F0?(t),F2(t)?F3(t)?0,

F4(t)??F0?(t)作用下的响应。设m1?m2?m3?m4?m,K1?K2?K3?K,?(t)为

单位阶跃函数。

答案:

固有频率:p1?0,p2?2?2K,p3?m2KK,p4?2?2 mm?x1??1.457(1?cosp2t)?0.0429(1?cosp4t)??x????2?F0?0.6.35(1?cosp2t)?0.1036(1?cosp4t)?????? ?x3?K??0.6035(1?cosp2t)?0.1036(1?cosp4t)????x4????1.457(1?cosp2t)?0.0429(1?cosp4t)??4-12图示有阻尼弹簧质量系统,如m1?m2?m3?m,K1?K2?K3?K,各质量上作

用外力F1?F2?F3?Fsin?t(其中??1.25K),各阶正则振型的相对阻尼系数m?1N??2N??3N???0.01,试用叠加法求各质量的强迫振动的稳态响应。

答案:

K m?0.398??10.896??0.064?F?F?F????{x}??0.717?sin(?t??1)??4.849?sin(?t??2)???0.080?sin(?t??3)

K?K?K????0.894?8.737?????0.035??1?0.445

4-13一轴盘扭振系统如图所示,给定初始条件为:

????????0; (1)?10??0,?20?0,?30???0,?102030???,??????0。求系统的响应。 (2)?10??20??30?0,?102030

答案:

2固有频率:p1?0,p2?2K3K2,p2? II??1???0cosp2t?????(1)??2???0?

??????cospt?2??3??0??2t???1??????(2)??2???2t????6??3??2t???3sinp2t?p22sinp3tp33sinp2t?p2?1sinp3t?p3??? ?1sinp3t??p3?

4-14证明模态向量相对于矩阵M和K是正交的 4-15 说明模态分析法求解自由振动和强迫振动的部骤

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