4 多自由度系统振动
4-1对指定的广义坐标?1，?2，?3，求图示三级摆，当第一、二两质量上作用有简谐激振力
F02g。 sin?t时的稳态响应，其中F0是常数，?2?25l??1??4???5F0??答案：??2???5?sin?t
4mg????6??3???
4-2图示一无质量均质简支梁，弯曲刚性常数为EJ，上有集中质量m1＝m2＝m3＝m，在第一个质量上作用有激振力Pcos?t。假设各阶主阵型阻尼比?i?0.01(i＝1,2,3)。已知激振频率??1.8768EJ，求各质量的稳态响应。 ml3
4-3在图示系统中，各质量只能沿铅垂方向运动。在质量4m上作用有铅垂激振力P0cos?t，求系统的无阻尼强迫振动的稳态响应。又若考虑到各弹性元件中的阻尼，假设振型阻尼比
?i?0.02(i＝1,2,3)，?2?1.25k，求系统的稳态响应。 m
34-5如图所示的汽车在Ic?mab的情形下的固有频率，设a＝，b＝，m?5.4?10Kg，m1＝m2＝650Kg，K1?K2?35KN/m，前后轮的轮胎刚度均为K＝1200KN/m。 答案：
p1?2.978Hz，p2?4.658Hz， p3?43.592Hz，p4?43.596Hz。
4-6如图所示的三自由度系统，若J1?2J2，J2?2J3kt1?2kt2kt2?2kt3，求系统的固有频率及响应。
??1??0.573?????k答案：??2???1.125?t
????1.551?J?3???
4-7一发电机厂的汽轮机及其隔振系统的简化模型如图所示，
（1）导出对x－y－θ坐标的振动微分方程，并求系统的固有频率和主振型。设
s1?1s2?b?s，K1?K2?K，Io?9ms2，o点为重心，m为汽轮机的重量。 4?????(0)?y（2）计算在x(0)?y(0)??(0)?x(0)?0，y0，?(0)??0条件下的响应。
答案： 振动微分方程：
?x?3Kx?6Ks??0?m???y?3Ky?0 ?m??9ms2????6Ksx?27Ks2??0?固有频率：
p1?K3K5K，p2?，p3? mmm
4-8研究一个无阻尼三自由度系统：
?x?200?????4?10??x1??F1(t)????1?????????010x??12?1x?F(t)???2????2??2?
?002?????0?14??x??F(t)??3????x???3??3?其中{F(t)}为瞬时激振向量。 （a） 求固有频率；
（b） 确定模态向量和模态矩阵；
（c） 证明模态向量相对于矩阵M和K是正交的。 答案：
222固有频率：?1?1，?2?2，?3?3
1??11??模态矩阵：u?20?2 ????1?11??证明略。
4-9如图所示弹簧质量系统，如m1?m2?m3?m，
K1?K2?K3?K，
求其各阶固有频率及主阵型。 答案：
??1??0.445?????K频率：??2???1.247?
????1.802?m?3????0.445?1.2471.802???主阵型：{A}??0.8020.555?2.247?
?1.0001.0001.000???
4-10求如图所示的弹簧质量系统的固有频率及主阵型。设K1?6K，K2?K，M?4m。 答案： 频率：?1?K，?2??3??4?2mK3K，?5? mm?1?1?主阵型：{A}??1??1?1??21??1111??0?211?
?00?31?000?2???111
4-11如图所示的弹簧质量系统，求系统在F1(t)?F0?(t)，F2(t)?F3(t)?0，
F4(t)??F0?(t)作用下的响应。设m1?m2?m3?m4?m，K1?K2?K3?K，?(t)为
单位阶跃函数。
答案：
固有频率：p1?0，p2?2?2K，p3?m2KK，p4?2?2 mm?x1??1.457(1?cosp2t)?0.0429(1?cosp4t)??x????2?F0?0.6.35(1?cosp2t)?0.1036(1?cosp4t)?????? ?x3?K??0.6035(1?cosp2t)?0.1036(1?cosp4t)????x4????1.457(1?cosp2t)?0.0429(1?cosp4t)??4-12图示有阻尼弹簧质量系统，如m1?m2?m3?m，K1?K2?K3?K，各质量上作
用外力F1?F2?F3?Fsin?t（其中??1.25K），各阶正则振型的相对阻尼系数m?1N??2N??3N???0.01，试用叠加法求各质量的强迫振动的稳态响应。
答案：
K m?0.398??10.896??0.064?F?F?F????{x}??0.717?sin(?t??1)??4.849?sin(?t??2)???0.080?sin(?t??3)
K?K?K????0.894?8.737?????0.035??1?0.445
4-13一轴盘扭振系统如图所示，给定初始条件为：
????????0； （1）?10??0，?20?0，?30???0，?102030???，??????0。求系统的响应。 （2）?10??20??30?0，?102030
答案：
2固有频率：p1?0，p2?2K3K2，p2? II??1???0cosp2t?????（1）??2???0?
??????cospt?2??3??0??2t???1??????（2）??2???2t????6??3??2t???3sinp2t?p22sinp3tp33sinp2t?p2?1sinp3t?p3??? ?1sinp3t??p3?
4-14证明模态向量相对于矩阵M和K是正交的 4-15 说明模态分析法求解自由振动和强迫振动的部骤