----高等数学---- 第一章 函数、极限、连续
函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。
第一节 数列极限与函数极限
【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：
洛必达（
；
）法则。
【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（ 【考点分析】数列极限的考点主要包括：
）法则求未定式极限的方法。
定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界
准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。
一、数列的极限 1.数列的极限
无穷多个数按一定顺序排成一列：列的一般项或通项。设有数列 当n>N时，恒有
或
存在且唯一。
2.极限存在准则
（1）定理（夹逼定理）设在
的某空心邻域内恒有
，且有
称为数列，记为数列
，其中
称为数
，
和常数A。若对任意给定的，总存在自然数
收敛于A，记为
，则称常数A为数列的极限，或称数列
。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限
， 则极限
有类似结论.
（2）定理：单调有界数列必有极限.
存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，
3.重要结论：（1）若 （2）
，则。（3）
，其中为任意常数。
。
【考点一】（1）单调有界数列必有极限.
（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.
【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。 （2）判定数列 Ⅰ计算
的单调性主要有三种方法： . 若
，则
单调递增；若
，则
单调递减。
Ⅱ当调递减。 Ⅲ令调递增；当
时，计算. 若，则单调递增；若，则单
，将n改为x，得到函数时，
单调递减。
。若可导，则当时，单
【例1·证明题】设数列极限存在并求极限
.
满足证明数列的
【答疑编号911010101】
1.X0>0
∵X0>0 ,
假设 Xn>0 , n≥2 ∵ Xn>0 , ∴假设成立
∵ Xn>0 , ∴
, n≥1
，n≥1 时
∵
∴Xn+1≤Xn 且 令 因为
，
，由极限的保号性知
令n→∞， ↓
2
∵ ∴a=2
上单调减少且非负的连续函数，
【例2·证明题】设f（x）是区间
【答疑编号911010102】
例2 ∵f（x）↓且 f（x）≥0
，证明数列的极限存在。
＝
∵ f（x）↓