第三章 多维随机变量及其分布
1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：
??0,若第一次取出的是正品, X????1,若第一次取出的是次品???0,若第二次取出的是正品, Y????1,若第二次取出的是次品?试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。
解：（1）放回抽样情况
由于每次取物是独立的。由独立性定义知。
P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=
或写成
X Y 0 1 （2）不放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=
0 1 101025?? 1212361025?? 1212362105?? 121236221?? 12123625 365 365 361 3610945?? 12116610210?? 121166P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=
或写成
X Y 0 1 0 21010?? 121166211?? 1211661 45 6610 6610 661 663.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。
X 0 1 2 3 Y 0 1 2 0 0 0 3 3512 353 352 352 350 6 356 351 35解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为
P {X=0, Y=2 }=
22C2C24C7?1 356 356 35P {X=1, Y=1 }=
112C3C2C24C7121C3C2C24C722C3C24C7?P {X=1, Y=2 }=?P {X=2, Y=0 }=?3 3512 35P {X=2, Y=1 }=
211C3C2C24C7?P {X=2, Y=2 }=
22C3C24C731C3C24C731C3C24C7?3 352 352 35P {X=3, Y=0 }=?P {X=3, Y=1 }=?P {X=3, Y=2 }=0
??k(6?x?y),0?x?2,2?y?45.[三] 设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5}
（2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4}
分析：利用P {(X, Y)∈G}=
??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy再化为累次积分，其
GG?Do?0?x?2,???中Do??(x,y)?
2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?3 81 8（2）P(X?1,Y?3)???01dx3128(6?x?y)dy?（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)??1.50dx?127 (6?x?y)dy?28324?20dx?4?x012(6?x?y)dy? 836．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 y （2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 解：（1）① 放回抽样（第1题）
X Y 0 1
0 1 2 x+y=4 1 25 365 365 361 36o x